대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반원 속 등비수열

문제

그림과 같이 점 O\mathrm{O}가 중심이고 선분 AB\mathrm{AB}가 지름인 반원이 있다. 호 AB\mathrm{AB}위의 점 C\mathrm{C}에 대하여 선분 AC\mathrm{AC}, OC\mathrm{OC}, BC\mathrm{BC}의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, BC‾AC‾\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{\mathrm{BC}}}}{\mathrm{\overline{AC}}}의 값은? (단, AC‾<OC‾<BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} < \overline{OC} < \overline{BC}) [4점]

①1+2\displaystyle 1 + \sqrt{2}②1+3\displaystyle 1 + \sqrt{3}③2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}④2+3\displaystyle 2 + \sqrt{3}⑤3+2\displaystyle 3 + \sqrt{2}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 등비수열을 이용한 문제해결하기 AC‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{a}, OC‾=ar\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \mathit{ar}, BC‾=ar2\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{ar} ^{2}이라 하자. △ABC\triangle \mathrm{ABC}에서 ∠ACB=90∘\mathrm{\angle} ACB = 90 ^\circ이므로 a2+(ar2)2=(2ar)2a ^{2} + \left( ar ^{2} \right) ^{2} = \left( 2 ar \right) ^{2}에서 r4−4r2+1=0r ^{4} - 4 r ^{2} + 1 = 0 ∴r2=2±3\displaystyle \therefore r ^{2} = 2 \pm \sqrt{3} BC‾AC‾=ar2a=r2>1\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\mathrm{\overline{AC}}} = \frac{ar ^{2}}{a} = r ^{2} > 1 (∵AC‾<OC‾<BC‾\displaystyle \mathrm{\because} \overline{\mathrm{AC} \mathit{}} < \overline{OC} < \overline{BC}) 따라서 BC‾AC‾=2+3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = 2 + \sqrt{3}

태그

#등비수열#피타고라스 정리

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 등차수열과 등비수열 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로