반원 교점 조건

그림과 같이 직선 위에 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 6$인 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$에 대하여 선분 $\mathrm{AC}$의 중점을 $\mathrm{P} _{1}$, 선분 $\mathrm{CB}$의 중점을 $\mathrm{P} _{2}$라 하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} _{1} C}} = a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP} _{2}}} = b$라 하자. 점 $\mathrm{P} _{1}$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle a + \frac{1}{2}$인 반원 $O _{1}$, 점 $\mathrm{P} _{2}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle b + \frac{1}{2}$인 반원 $O _{2}$를 각각 그린 후, 선분 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$를 지름으로 하는 반원을 그린다. 두 반원 $O _{1}$과 $O _{2}$의 교점이 호 $\mathrm{P} _{1} P _{2}$ 위에 있을 때, $ab$의 값은? (단, $a < b$) [4점]

①$\displaystyle \frac{5}{4}$②$\displaystyle \frac{7}{4}$③$\displaystyle \frac{9}{4}$④$\displaystyle \frac{11}{4}$⑤$\displaystyle \frac{13}{4}$