반원 그림자 넓이

도형 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$$( p , 0 , q )$라 두면 $p ^{2} + ( q - 1 ) ^{2} \leq 1$, $0 \leq q \leq 1$을 만족한다. 주어진 도형의 자취는 결국 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{P}$를 지나는 직선의 방정식이 $xy$평면과 만나서 생기는 점들의 자취라 볼 수 있다. 여기서, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도해보면 $\displaystyle \frac{x - 0}{p - 0} = \frac{y - ( - 1 )}{0 - ( - 1 )} = \frac{z - 2}{q - 2} \rightarrow \frac{x}{p} = y + 1 = \frac{z - 2}{q - 2}$라 둘 수 있다. 이 직선 위의 임의의 점을 매개변수 $t$를 활용해 표기하면 $x = pt , y = t - 1 , z = 2 + ( q - 2 ) t$라 둘 수 있다. 이 때, $xy$평면과의 교점은 결국 $z = 0$인 점들이므로 $2 + qt - 2 t = 0$을 만족시킨다. 여기서, $\displaystyle p = \frac{x}{t}$, $t = y + 1$, $\displaystyle q = \frac{2 ( t - 1 )}{t}$가 성립한다. $\displaystyle \therefore p = \frac{x}{y + 1}$, $\displaystyle q = \frac{2 y}{y + 1}$ 이 식을 위의 원의 방정식에 넣어서 정리하면 $\displaystyle y \geq \frac{1}{4} x ^{2}$, $0 \leq y \leq 1$이 된다. 그러므로 주어진 자취의 넓이는 $\displaystyle 4 - 2 \int _{0} ^{2{\frac{1}{4} x ^{2} dx}}$ = $\displaystyle \frac{8}{3}$ $=$ $\displaystyle \frac{b}{a}$ $\therefore a + b = 11$