기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

반원 벡터 최솟값

문제

그림과 같이 선분 AB\mathrm{AB}위에 AE‾=DB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \overline{DB} = 2인 두 점 D,E\mathrm{D} , E가 있다. 두 선분 AE,DB\mathrm{AE} , DB를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE,DB\mathrm{AE} , DB가 만나는 점을 C\mathrm{C}라 하고, 선분 AB\mathrm{AB}위에 O1A‾=O2B‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{O _{1} A}} = \overline{O _{2} B} = 1인 두 점을 O1,O2\mathrm{O} _{1} , O _{2}라 하자. 호 AC\mathrm{AC}위를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 호 DC\mathrm{DC}위를 움직이는 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 ∣O1P⃗+O2Q⃗∣\mathrm{\left| \vec{O _{1} P} + \vec{O _{2} Q} \right|}의 최솟값이 12\displaystyle \frac{1}{2}일 때, 선분 AB\mathrm{AB}의 길이는 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, 1<O1O2‾<2\displaystyle \mathrm{1} < \overline{O _{1} O _{2}} < 2이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

점 P\mathrm{P}는 호AC\mathrm{AC} 위에 존재하고, 점 Q\mathrm{Q}는 호DC\mathrm{DC} 위에 존재하므로 C\mathrm{C}를 지나고 AE\mathrm{AE}에 평행한 직선이 원과 만나는 점을 C′\mathrm{C}'라 하고, O2Q⃗\vec{\mathrm{O} _{2} Q}를 시점을 O1\mathrm{O} _{1}으로 하면 다음과 같다.

O1P⃗\vec{\mathrm{O} _{1} P}와 O2Q⃗\vec{\mathrm{O} _{2} Q}는 길이가 1인 벡터이므로 각이 제일 클 때 ∣O1P⃗+O2Q⃗∣\left| \vec{\mathrm{O} _{1} P} + \vec{\mathrm{O} _{2} Q} \right|는 최소가 되고 그 점은 P\mathrm{P}가 C\mathrm{C}이며, Q\mathrm{Q}가 A\mathrm{A}일 경우이므로

O2Q⃗=EO2⃗\vec{\mathrm{O} _{2} Q} = \vec{\mathrm{EO} _{2}}이므로 ∣EC⃗∣=12\displaystyle \left| \vec{\mathrm{EC}} \right| = \frac{1}{2}이다. C\mathrm{C}에서 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하고 HE‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{HE}} = a라 하면

피타고라스 정리에 의해 1−(1−a)2=(12)2−a2\displaystyle 1 - \left( 1 - a \right) ^{2} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} - a ^{2} 2a−a2=14−a2\displaystyle 2 a - a ^{2} = \frac{1}{4} - a ^{2} ∴a=18\displaystyle \therefore a = \frac{1}{8} AH‾=2−a\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = 2 - a, HB‾=2−a\displaystyle \overline{\mathrm{HB}} = 2 - a이므로 AB‾=4−2a=4−14=154\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4 - 2 a = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} ∴p+q=19\therefore p + q = 19

태그

#벡터의 합#최솟값#원

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