방정식 실근 개수 보기

[출제의도] 함수의 그래프를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 추론한다. ㄱ. $k = 0$일 때, $f ( x ) + g ( x )$$= x ^{3} + 2 x ^{2} + 4$ $h _{1} ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} + 4$라 하면 $h _{1}' ( x )$$= 3 x ^{2} + 4 x$$= x \left( 3 x + 4 \right)$$= 0$ 에서 함수 $h _{1} ( x )$는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{4}{3}$에서 극대, $x = 0$에서 극소이다. $h _{1} ( 0 ) = 4 > 0$이므로 방정식 $h _{1} ( x ) = 0$은 오직 하나의 실근을 갖는다. (참) ㄴ. $f ( x ) - g ( x ) = 0$에서 $x ^{3} - kx + 6 - \left( 2 x ^{2} - 2 \right) = 0$, $x ^{3} - 2 x ^{2} + 8 = kx$ $h _{2} ( x ) = x ^{3} - 2 x ^{2} + 8$이라 하면 곡선 $y = h _{2} ( x )$에 직선 $y = kx$가 접할 때만 방정식 $h _{2} ( x ) = kx$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이다. 접점의 좌표를 $\left( a , a ^{3} - 2 a ^{2} + 8 \right)$이라 하면 $h _{2}' ( x ) = 3 x ^{2} - 4 x$에서 접선의 방정식은 $y - \left( a ^{3} - 2 a ^{2} + 8 \right) = \left( 3 a ^{2} - 4 a \right) \left( x - a \right)$ 이 접선이 원점을 지나므로 $0 - \left( a ^{3} - 2 a ^{2} + 8 \right) = \left( 3 a ^{2} - 4 a \right) \left( 0 - a \right)$, $\left( a - 2 \right) \left( a ^{2} + a + 2 \right) = 0$, $a = 2$ 따라서 구하는 $k$의 값은 $h _{2}' ( 2 ) = 4$뿐이다. (참) ㄷ. $\left| x ^{3} - kx + 6 \right| = 2 x ^{2} - 2$에서 $2 x ^{2} - 2 \geq 0$이므로 $x$의 값의 범위는 $x {\leq} - 1$ 또는 $x \geq 1$이고, 주어진 방정식은 $x ^{3} - kx + 6 = \mathit{-} \left( 2 x ^{2} - 2 \right)$ 또는 $x ^{3} - kx + 6 = 2 x ^{2} - 2$, 즉 $x ^{3} + 2 x ^{2} + 4 = kx$ 또는 $x ^{3} - 2 x ^{2} + 8 = kx$ $h _{1} \left( x \right) = x ^{3} + 2 x ^{2} + 4$, $h _{2} \left( x \right) = x ^{3} - 2 x ^{2} + 8$이라 하면 주어진 방정식의 실근의 개수는 $x {\leq} - 1$ 또는 $x \geq 1$일 때 직선 $y = kx$와 두 곡선 $y = h _{1} ( x )$, $y = h _{2} ( x )$의 교점의 개수와 같다. ㄴ에서 $k = 4$일 때 직선 $y = kx$와 곡선 $y = h _{2} ( x )$가 접하므로 $k \leq 4$일 때 $x {\leq} - 1$ 또는 $x {\geq} 1$에서 직선 $y = kx$와 두 곡선 $y = h _{1} ( x )$, $y = h _{2} ( x )$의 교점의 개수의 최댓값은 $3$이다.

$k > 4$일 때, $x \leq - 1$에서 직선 $y = kx$와 두 곡선 $y = h _{1} ( x )$, $y = h _{2} ( x )$의 서로 다른 교점의 개수는 $2$이다. 원점에서 곡선 $y = h _{1} ( x )$에 그은 접선의 방정식은 $y = 7 x$이고 접점의 좌표는 $\left( 1 , 7 \right)$이므로 $k > 4$일 때, $x {\geq} 1$에서 직선 $y = kx$와 두 곡선 $y = h _{1} ( x )$, $y = h _{2} ( x )$의 서로 다른 교점의 개수는 $2$이다. 즉, $k > 4$일 때, $x {\leq} - 1$ 또는 $x {\geq} 1$에서 직선 $y = kx$와 두 곡선 $y = h _{1} ( x )$, $y = h _{2} ( x )$의 서로 다른 교점의 개수는 $4$이다. 따라서 방정식 $\left| f ( x ) \right| = g ( x )$의 서로 다른 실근의 개수의 최댓값은 $4$이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.