미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반각공식 기하 증명

문제

다음은 θ\theta가 예각일 때, sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}가 성립함을 증명한 것이다.

[증명] 길이가 11인 선분 AC\mathrm{AC}를 지름으로 하는 원 O\mathrm{O} 위의 점 B\mathrm{B}에 대하여 ∠BAC=θ\mathrm{\angle} BAC = \mathit{\theta}라 하자. 호 BC\mathrm{BC}의 중점을 D\mathrm{D}, D\mathrm{D}에서 지름 AC\mathrm{AC}에 내린 수선의 발을 F\mathrm{F}라 하고, AB‾=AE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AE}가 되도록 지름 AC\mathrm{AC} 위에 점 E\mathrm{E}를 잡으면 △BAD≡\mathrm{\triangle} BAD \equiv△EAD\mathrm{\triangle} EAD CD‾=\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = (가) ∴EF‾=CF‾=12(AC‾−AB‾)\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{EF} = \overline{CF} = \frac{1}{2} ( \overline{AC} - \overline{AB} ) ∠AFD=∠ADC=90∘\mathrm{\angle} AFD = \angle ADC = 90 ^\circ이므로 CD‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} ^{2} = (나) =12AC‾(AC‾−AB‾)\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{AC} ( \overline{AC} - \overline{AB} ) CD‾=sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sin \frac{\theta}{2}, AB‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = (다) ∴sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\displaystyle \therefore \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}

∴EF‾=CF‾=12(AC‾−AB‾)\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{EF} = \overline{CF} = \frac{1}{2} ( \overline{AC} - \overline{AB} ) ∠AFD=∠ADC=90∘\mathrm{\angle} AFD = \angle ADC = 90 ^\circ이므로 CD‾2=\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} ^{2} = (나)

=12AC‾(AC‾−AB‾)\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{AC} ( \overline{AC} - \overline{AB} ) CD‾=sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \sin \frac{\theta}{2}, AB‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = (다)

∴sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\displaystyle \therefore \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
① DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}AC‾⋅CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{CF}sin⁡θ\sin \theta
②DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}AC‾⋅CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{CF}cos⁡θ\cos \theta
③DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}AD‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cdot \overline{DF}sin⁡θ\sin \theta
④ DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{DF}}AD‾⋅DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} \cdot \overline{DF}cos⁡θ\cos \theta
⑤ DF‾\displaystyle \mathrm{\overline{DF}}AC‾⋅CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{CF}sin⁡θ\sin \theta
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②

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해설

(가) DE‾\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}, (나) AC‾⋅CF‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \cdot \overline{CF}, (다) cos⁡θ\cos \theta

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#반각공식#증명

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