미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

반각 탄젠트 극한

문제

수열 {θn\theta _{n}}에 대하여 tan⁡θn2=n+12n\displaystyle \tan \frac{\theta _{n}}{2} = \frac{n + 1}{2 n} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)일 때, lim⁡n→∞tan⁡θn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \tan \theta _{n}의 값은? (단, 0≤θn≤π2\displaystyle 0 \leq \theta _{n} \leq \frac{\pi}{2}이다.) [3점] ①11②43\displaystyle \frac{4}{3}③53\displaystyle \frac{5}{3}④22⑤73\displaystyle \frac{7}{3}

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해설

lim⁡n→∞tan⁡θn2=lim⁡n→∞n+12n=12\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \tan \frac{\theta _{n}}{2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}이므로 lim⁡n→∞tan⁡θn=lim⁡n→∞2tan⁡θn21−tan⁡2θn2=2⋅121−(12)2=43\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\tan \theta _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 \tan \frac{\theta _{n}}{2}}{1 - \tan ^{2} \frac{\theta _{n}}{2}}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}} = \frac{4}{3}

태그

#삼각함수#배각공식#극한

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