반복되는 지수함수 그래프 넓이

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이 문제 해결하기 조건 (가)에서 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 ^{x} - 1 \left( 0 \leq x \leq 1 \right) \\ 2 - 2 ^{x - 1} \left( 1 < x \leq 2 \right) \end{cases}}$ 이고, 조건 (나)에서 (ⅰ) $n = 1$일 때, $2 f \left( x \right) = f \left( x - 2 \right)$ $\left( 2 < x \leq 4 \right)$ 즉, $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} f \left( x - 2 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 ^{x - 3} - \frac{1}{2} & \left( 2 < x \leq 3 \right) \\ 1 - 2 ^{x - 4} & \left( 3 < x \leq 4 \right) \end{cases}}$ (ⅱ) $n = 2$일 때, $2 ^{2} f \left( x \right) = f \left( x - 4 \right)$ $\left( 4 < x \leq 6 \right)$ 즉, $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{4} f \left( x - 4 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 ^{x - 6} - \frac{1}{4} & \left( 4 < x \leq 5 \right) \\ \frac{1}{2} - 2 ^{x - 7} & \left( 5 < x \leq 6 \right) \end{cases}}$ (ⅲ) $n = 3$일 때, $2 ^{3} f \left( x \right) = f \left( x - 6 \right)$ $\left( 6 < x \leq 8 \right)$ 즉, $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{8} f \left( x - 6 \right)$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} 2 ^{x - 9} - \frac{1}{8} & \left( 6 < x \leq 7 \right) \\ \frac{1}{4} - 2 ^{x - 10} & \left( 7 < x \leq 8 \right) \end{cases}}$ 이다. 따라서 $0 \leq x \leq 8$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{4}$ $\displaystyle \frac{1}{8}$ $y = f \left( x \right)$

$0 \leq x \leq 1$에서 함수 $y = 2 ^{x} - 1$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프는 $1 \leq x \leq 2$에서 함수 $y = 2 - 2 ^{x - 1}$의 그래프와 일치한다. 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 $0 \leq x \leq 2$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$이다. 같은 방법으로 $2 \leq x \leq 4$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $4 \leq x \leq 6$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{4}$, $6 \leq x \leq 8$에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{8}$이다. 따라서 $\displaystyle S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$이므로 $32 S = 60$이다.