반복되는 함수 적분

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 실수 전체의 집합에서 연속이다. 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 4$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} f \left( x \right) = f \left( 4 \right)$ $4 \leq x < 8$에서의 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $0 \leq x < 4$에서의 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\mathrm{4}$만큼, $y$축의 방향으로 $\mathrm{16}$만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x + 4 \right) = f \left( x \right) + 16$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x + 4 \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ f \left( x \right) + 16 \right\} = 0 + 16 = 16$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \left( x ^{3} + ax ^{2} + bx \right)$$= 64 + 16 a + 4 b$ $f \left( 4 \right) = f \left( 0 \right) + 16 = 16$ $b = 64 + 16 a + 4 b$$b =$ 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 4$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 4 \right)}{x - 4} = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 4 \right)}{x - 4}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 +} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 4 \right)}{x - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( x + 4 \right) - f \left( 4 \right)}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\left\{ f \left( x \right) + 16 \right\} - 16}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{x ^{3} + ax ^{2} + bx}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left( x ^{2} + ax + b \right) = b = - 4 a - 12$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 4 \right)}{x - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \frac{\left( x ^{3} + ax ^{2} + bx \right) - 16}{x - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \frac{x ^{3} + ax ^{2} + \left( - 4 a - 12 \right) x - 16}{x - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \frac{ax \left( x - 4 \right) + \left( x - 4 \right) \left( x ^{2} + 4 x + 4 \right)}{x - 4}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 4 -} {} \left\{ x ^{2} + \left( a + 4 \right) x + 4 \right\} = 4 a + 36$ $- 4 a - 12 = 4 a + 36$ $a = - 6$, $b = 12$ $f \left( x \right) = x ^{3} - 6 x ^{2} + 12 x \left( 0 \leq x < 4 \right)$ 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축 및 직선 $x = 3$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 직선 $y = 16$과 $x$축 및 두 직선 $x = 4$, $x = 7$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하면 $A$$\displaystyle = \int _{0} ^{3} {} f \left( x \right) dx = \int _{0} ^{3} {} \left( x ^{3} - 6 x ^{2} + 12 x \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{4} x ^{4} - 2 x ^{3} + 6 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{3} = \frac{81}{4}$ $B = 3 \times 16 = 48$ 따라서 $\displaystyle \int _{4} ^{7} {} f \left( x \right) dx = A + B = \frac{81}{4} + 48 = \frac{273}{4}$