반복 중점 수렴점

$P _{n}$을 $( x _{n} , y _{n} )$이라고 하면 $Q _{n}$은 $BP _{n}$의 중점이므로 $\displaystyle Q _{n} = \left( \frac{x _{n} + 1}{2} , \frac{y _{n}}{2} \right)$ 또한, $P _{n+1}$은 선분 $AQ _{n}$의 중점 이므로 $\displaystyle P _{n+1} = \left( \frac{x _{n} + 1}{4} , \frac{y _{n} + 2}{4} \right)$이다. 따라서, $\displaystyle x _{n+1} = \frac{1}{4} x _{n} + \frac{1}{4} , y _{n+1} = \frac{1}{4} y _{n} + \frac{1}{2}$ $x _{n} , y _{n}$은 모두 계차수열이 공비가 $\displaystyle \frac{1}{4}$인 등비수열이므로 두 수열의 일반항을 구하면 $\displaystyle x _{n} = \left( x _{1} - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n+1} + \frac{1}{3} \cdots ( 1 )$ $\displaystyle y _{n} = \left( y _{1} - \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} + \frac{2}{3} \cdots ( 2 )$ $n \rightarrow \infty$일 때, 식 $( 1 )$과$( 2 )$의 극한값은 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} x _{n} = \frac{1}{3} , \lim\limits _{n\rightarrow \infty} y _{n} = \frac{2}{3}$ 따라서, 점 $P _{n}$은 $\displaystyle \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)$에 가까워진다.