미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반복 중점 수렴점

문제

좌표평면 위에 서로 다른 세 점 A(0,1)\mathrm{A} ( 0 , 1 ), B(1,0)\mathrm{B} ( 1 , 0 ), C(a,b){\mathrm{C}} ( a , b )가 있다. 선분 AC\mathrm{AC}의 중점을 P1{\mathrm{P}} _{1}이라 하고, 선분 BP1\mathrm{BP _{1}}의 중점을 Q1\mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{1}}}이라 하자. 또, 선분 AQ1\mathrm{AQ _{1}}의 중점을 P2{\mathrm{P}} _{2}라 하고, 선분 BP2\mathrm{BP _{2}}의 중점을 Q2\mathrm{Q} _{2}라 하자. 이와 같이 모든 자연수 nn에 대하여 선분 BPn{{\mathrm{BP}} _{n}}의 중점을 Qn{\mathrm{Q}} _{n}이라 하고, 선분 AQn{\mathrm{AQ}} _{n}의 중점을 Pn+1{\mathrm{P}} _{n+1}이라 하자. nn이 한없이 커질 때, 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}은 어떤 점에 한없이 가까워지는가? [4점] ①(34,14)\displaystyle \left( \frac{3}{4} , \frac{1}{4} \right)②(23,13)\displaystyle \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3} \right)③(12,12)\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right)④(13,23)\displaystyle \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)⑤(14,34)\displaystyle \left( \frac{1}{4} , \frac{3}{4} \right)

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④

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해설

nn이 한없이 커지게 되면 Pn\mathrm{P} _{n}과 Qn\mathrm{Q} _{n}은 선분 AB 위에 놓이게 된다. Pn(t\mathrm{P} _{n} ( t, 1−t)1 - t )이라 하면 Qn\mathrm{Q} _{n}은 B‾Pn\displaystyle \overline{\mathrm{B}} P _{n}의 중점이므로 Qn(t+12\displaystyle \mathrm{Q} _{n} \left( \frac{t + 1}{2} \right., 1−t2)\displaystyle \frac{1 - t}{2} ) Pn+1(t+14\displaystyle \mathrm{P} _{n+1} \left( \frac{t + 1}{4} \right., 3−t4)\displaystyle \frac{3 - t}{4} ) lim⁡n→∞Pn=lim⁡n→∞Pn+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P} _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P} _{n+1}이므로 t=t+14\displaystyle t = \frac{t + 1}{4} t+1=4tt + 1 = 4 t ∴ t=13\displaystyle t = \frac{1}{3}, 1−t=23\displaystyle 1 - t = \frac{2}{3} ∴ Pn(13\displaystyle \mathrm{P} _{n} \left( \frac{1}{3} \right., 23)\displaystyle \frac{2}{3} )

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#중점#점화식#극한

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