공통수학2유리함수와 무리함수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반복 합성 조건으로 상수 구하기

문제

함수 f(x)=x1−ax\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{1 - ax} (aa는 00이 아닌 상수)에 대하여 f1=ff ^{1} = f, fn+1=f∘fnf ^{n + 1} = f \circ f ^{n} (nn은 자연수)으로 정의하자. f5(1)=−19\displaystyle f ^{5} ( 1 ) = - \frac{1}{9}일 때, aa의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

f1(1)=11−a\displaystyle f ^{1} ( 1 ) = \frac{1}{1 - a} f2(1)=f(11−a)=11−a1−a1−a=11−2a\displaystyle f ^{2} ( 1 ) = f \left( \frac{1}{1 - a} \right) = \frac{\frac{1}{1 - a}}{1 - \frac{a}{1 - a}} = \frac{1}{1 - 2 a} f3(1)=f(11−2a)=11−2a1−a1−2a=11−3a\displaystyle f ^{3} ( 1 ) = f \left( \frac{1}{1 - 2 a} \right) = \frac{\frac{1}{1 - 2 a}}{1 - \frac{a}{1 - 2 a}} = \frac{1}{1 - 3 a} 같은 방법으로 fn(1)=11−na\displaystyle f ^{n} ( 1 ) = \frac{1}{1 - na}이다. f5(1)=11−5a=−19\displaystyle f ^{5} ( 1 ) = \frac{1}{1 - 5 a} = - \frac{1}{9}에서 1−5a=−91 - 5 a = - 9 따라서 a=2a = 2 ②

태그

#유리함수#반복 합성#규칙 찾기#미정계수

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