5의 배수 항 수열의 합

자연수 $t$에 대하여 $a _{5 t - 4} + a _{5 t - 3} + a _{5 t - 2} + a _{5 t - 1} + a _{5 t}$ $= \left( 5 t - 4 \right) + \left( 5 t - 3 \right) + \left( 5 t - 2 \right) + \left( 5 t - 1 \right) + \left\{ \left( - 4 \right) \times 5 t + 10 \right\}$ $= 20 t - 10 + \left( - 20 t + 10 \right) = 0$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{5 t} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{t} \left( a _{5 k - 4} + a _{5 k - 3} + a _{5 k - 2} + a _{5 k - 1} + a _{5 k} \right)$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{t} 0 = 0$ 그러므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} a _{k} = \begin{cases} 5 t - 4 & & \left( m = 5 t - 4 \right) \\ 10 t - 7 & & \left( m = 5 t - 3 \right) \\ 15 t - 9 & & \left( m = 5 t - 2 \right) \\ 20 t - 10 & & \left( m = 5 t - 1 \right) \\ 0 & & \left( m = 5 t \right) \end{cases}$ (ⅰ) $m = 5 t - 4$이면 $20 \leq 5 t - 4 < 30$에서 $t = 5$, $6$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $m$의 값은 $21$, $26$이다. (ⅱ) $m = 5 t - 3$이면 $20 \leq 10 t - 7 < 30$에서 $t = 3$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $m$의 값은 $12$이다. (ⅲ) $m = 5 t - 2$이면 $20 \leq 15 t - 9 < 30$에서 $t = 2$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $m$의 값은 $8$이다. (ⅳ) $m = 5 t - 1$이면 $20 \leq 20 t - 10 < 30$에서 $\displaystyle \frac{3}{2} \leq t < 2$이므로 조건을 만족시키는 자연수 $m$은 존재하지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에서 모든 자연수 $m$의 값의 합은 $21 + 26 + 12 + 8 = 67$