대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

4로 나눈 나머지 수열 합

문제

수열 {an}\{ a _{n} \}의 일반항이 an=n−4[n4]\displaystyle a _{n} = n - 4 \left[ \frac{n}{4} \right] 일 때, ∑n=125an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{25} a _{n}의 값을 구하시오. (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

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해설

(i) 1≤n<41 \leq n < 4일 때 [n4]=0\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 0이므로 ∑n=13n=6\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{3} n = 6 (ii) 4≤n<84 \leq n < 8일 때 [n4]=1\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 1이므로 ∑n=47(n−4)=∑n=14(n−1)=6\displaystyle \sum\limits _{n=4} ^{7} ( n - 4 ) = \sum\limits _{n=1} ^{4} ( n - 1 ) = 6 (iii) 8≤n<128 \leq n < 12일 때 [n4]=2\displaystyle \left[ \frac{n}{4} \right] = 2이므로 ∑n=811(n−8)=∑n=14(n−1)=6\displaystyle \sum\limits _{n=8} ^{11} ( n - 8 ) = \sum\limits _{n=1} ^{4} ( n - 1 ) = 6 이런 식으로 계속하게 되면 12≤n<1612 \leq n < 16일 때, 16≤n<2016 \leq n < 20일 때, 20≤n<2420 \leq n < 24일 때도 모두 66이고, 24≤n≤2524 \leq n \leq 25일 때 0+1=10 + 1 = 1이므로 ∑n=125an=6×6+1=37\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{25} a _{n} = 6 \times 6 + 1 = 37

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#가우스 기호#나머지#주기

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