4k+3 꼴 소수의 무한성

(가) $n$은 $3 , 7 , 11 , 19 , \cdots , p$의 배수가 아니므로 $n$은 $3 , 7 , 11 , 19 , \cdots , p$로 나누어 떨어지지 않는다. (나) $4 k + 1$꼴의 두 정수를 $4 m _{1} + 1 , 4 m _{2} + 1 ( m _{1} , m _{2}$는 음이 아닌 정수)라 하면 이 두 정수의 곱은 $( 4 m _{1} + 1 ) ( 4 m _{2} + 1 ) = 4 ( 4 m _{1} m _{2} + m _{1} + m _{2} ) + 1$ 이므로 $4 k + 1$꼴이다. (다) $n$의 모든 소인수는 $4 k + 1$꼴 또는 $4 k + 3$꼴의 정수인데 앞에서 $n$의 모든 소인수가 $4 k + 1$꼴이면 모순이므로 $n$은 $4 k + 3$꼴의 소인수를 갖는다.