3의 배수 조건 점화식

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기 $a _{n}$이 자연수라 하자. 자연수 $k$에 대하여 $a _{n} = 3 k - 2$이면 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{\left( 3 k - 2 \right) ^{2} + 5}{3} = \frac{9 k ^{2} - 12 k + 9}{3} = 3 k ^{2} - 4 k + 3$, $a _{n} = 3 k - 1$이면 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{\left( 3 k - 1 \right) ^{2} + 5}{3} = \frac{9 k ^{2} - 6 k + 6}{3} = 3 k ^{2} - 2 k + 2$, $a _{n} = 3 k$이면 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{3 k}{3} = k$ 이므로 $a _{n}$이 자연수이면 $a _{n + 1}$도 자연수이다. $a _{1}$이 자연수이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{n}$은 자연수이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ $a _{4}$가 $\mathrm{3}$의 배수이면 $\displaystyle a _{5} = \frac{a _{4}}{3}$이므로 $a _{4} + a _{5} = 5$에서 $\displaystyle a _{4} + \frac{a _{4}}{3} = 5$, $\displaystyle a _{4} = \frac{15}{4}$가 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. 그러므로 $a _{4}$는 $\mathrm{3}$의 배수가 아니다. $\displaystyle a _{5} = \frac{a _{4} \mathit{^{2}} + 5}{3}$이므로 $a _{4} + a _{5} = 5$에서 $\displaystyle a _{4} + \frac{a _{4} \mathit{^{2}} + 5}{3} = 5$ $a _{4} \mathit{^{2}} + 3 a _{4} - 10 = \left( a _{4} + 5 \right) \left( a _{4} - 2 \right) = 0$ ㉠에 의하여 $a _{4} = 2$ (ⅰ) $a _{3}$이 $\mathrm{3}$의 배수인 경우 $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{3}}{3} = 2$이므로 $a _{3} = 6$ $a _{2}$의 값을 구하면 ⓐ $a _{2}$가 $\mathrm{3}$의 배수인 경우 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2}}{3} = 6$이므로 $a _{2} = 18$ ⓑ $a _{2}$가 $\mathrm{3}$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2} \mathit{^{2}} + 5}{3} = 6$이므로 $a _{2} \mathit{^{2}} = 13$이 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. 그러므로 $a _{2} = 18$ $a _{1}$의 값을 구하면 ⓐ $a _{1}$이 $\mathrm{3}$의 배수인 경우 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1}}{3} = 18$이므로 $a _{1} = 54$ ⓑ $a _{1}$이 $\mathrm{3}$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1} ^{2} + 5}{3} = 18$이므로 $a _{1} \mathit{^{2}} = 49$ ㉠에 의하여 $a _{1} = 7$ (ⅱ) $a _{3}$이 $\mathrm{3}$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a _{4} = \frac{a _{3} \mathit{^{2}} + 5}{3} = 2$이므로 $a _{3} \mathit{^{2}} = 1$ ㉠에 의하여 $a _{3} = 1$ $a _{2}$의 값을 구하면 ⓐ $a _{2}$가 $\mathrm{3}$의 배수인 경우 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2}}{3} = 1$이므로 $a _{2} = 3$ ⓑ $a _{2}$가 $\mathrm{3}$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2} \mathit{^{2}} + 5}{3} = 1$이므로 $a _{2} \mathit{^{2}} = - 2$가 되어 ㉠을 만족시키지 않는다. 그러므로 $a _{2} = 3$ $a _{1}$의 값을 구하면 ⓐ $a _{1}$이 $\mathrm{3}$의 배수인 경우 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1}}{3} = 3$이므로 $a _{1} = 9$ ⓑ $a _{1}$이 $\mathrm{3}$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a _{2} = \frac{a _{1} ^{2} + 5}{3} = 3$이므로 $a _{1} ^{2} = 4$ ㉠에 의하여 $a _{1} = 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 $a _{1}$의 값의 합은 $54 + 7 + 9 + 2 = 72$