2의 거듭제곱 합 배수

$\displaystyle \sum\limits _{{k} = 1 ^{}} ^{n _{}} 2 ^{k} = \frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2 ( 2 ^{n} - 1 ) = 65 k$ 이고 2와 65는 서로 소이므로 $2 ^{n} - 1 = 65 k'$ 이 성립하면 된다. $2 ^{n} = 65 k' + 1 = ( 5 \cdot 13 ) k' + 1$ ($n , k$ 는 자연수) [i] 수열 $a _{n} = 2 ^{n}$ 을 5로 나눈 나머지의 수열을 $a _{n} ^{'}$ 이라고 하면 $a _{n} ^{'}$ : 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, $\cdots \cdots$ 이므로 $2 ^{n}$ 을 5로 나눈 나머지가 1이 되는 경우는 $n$이 4의 배수일 때이다. [ii] $2 ^{4m} = ( 2 ^{4} ) ^{m} = ( 13 + 3 ) ^{m}$ 을 13으로 나눈 나머지는 $3 ^{m}$을 13으로 나눈 나머지와 같다. 수열 $b _{m} = 3 ^{m}$ 을 13으로 나눈 나머지의 수열을 $b _{m} ^{'}$ 이라고 하면 $b _{m} ^{'}$ : 3, 9, 1, 3, 9, 1, $\cdots \cdots$ 이므로 $2 ^{4m}$ 을 13으로 나눈 나머지가 1이 되는 경우는 $m$이 3의 배수일 때이다. $\therefore$ [i], [ii]에서 $2 ^{n}$을 5, 13으로 나눈 나머지가 모두 1이 되는 경우는 $n$ 이 12의 배수가 될 때이다.