11의 배수 판정 빈칸

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 추론 문제를 해결한다. 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리의 숫자가 각각 $a$, $b$, $c$, $d$인 네 자리 자연수 $N$에 대하여 $f ( x ) = ax ^{3} + b x ^{2} + c x + d$로 놓으면 $N =$${\square {f ( 10 )}}$ 다항식 $f ( x )$를 $x + 1$로 나눈 몫을 $Q ( x )$, 나머지를 $R$라 하면 $f ( x ) = ( x + 1 ) Q ( x ) + R$ 이고, 나머지 정리에 의하여 $R = f ( - 1 ) =$${\square {- a + b - c + d}}$ 따라서 $N = f ( 10 ) = 11 Q ( 10 ) + ( - a + b - c + d )$ 이므로 ${\square {- a + b - c + d}}$가 $11$의 배수인 것은 네 자리 자연수 $N$이 $11$의 배수이기 위한 필요충분조건이다. 따라서 (가)는 $f ( 10 )$이고 (나)는 $- a + b - c + d$이다. [참고] 문제에서 구한 $11$의 배수가 되기 위한 필요충분조건은 네 자리 자연수뿐 아니라 모든 자연수에 대하여 성립한다. (예1) 자연수 $7183$은 $\left( 7 + 8 \right) - \left( 1 + 3 \right)$$= 15 - 4$$= 11$ 이므로 $11$의 배수 판정법에 의하여 $11$의 배수가 된다. 실제로 $7183 = 11 \times 653$으로 자연수 $7183$은 $11$의 배수이다. (예2) 자연수 $135795$는 $\left( 1 + 5 + 9 \right) - \left( 3 + 7 + 5 \right)$$= 15 - 15$$= 0$ 이므로 $11$의 배수 판정법에 의하여 $11$의 배수가 된다. 실제로 $135795 = 11 \times 12345$로 자연수 $135795$는 $11$의 배수이다.