미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

1/x 의 정적분 비교

문제

다음 정적분 중 그 값이 ∫ab1xdx\displaystyle \int _{a} ^{b} \frac{1}{x} dx와 같은 것은? (단, 0<a<b0 < a < b) [3점] ①∫a+1b+11xdx\displaystyle \int _{a+1} ^{b+1} \frac{1}{x} dx②∫2a2b1xdx\displaystyle \int _{2a} ^{2b} \frac{1}{x} dx③∫a2b21xdx\displaystyle \int _{a ^{2}} ^{b ^{2}} {} \frac{1}{x} dx④∫ab1xdx\displaystyle \int _{\sqrt{a}} ^{\sqrt{b}} \frac{1}{x} dx⑤∫1a1b1xdx\displaystyle \int _{\frac{1}{a}} ^{\frac{1}{b}} \frac{1}{x} dx

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②

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해설

∫ab1xdx\displaystyle \int _{a} ^{b} \frac{1}{x} dx=[ln⁡∣x∣]ab=ln⁡b−ln⁡a= \left[ \ln | x | \right] _{a} ^{b} = \ln b - \ln a=ln⁡ba\displaystyle = \ln {\frac{b}{a}} ① ∫a+1b+11xdx\displaystyle \int _{a+1} ^{b+1} \frac{1}{x} dx=ln⁡b+1a+1\displaystyle = \ln \frac{b + 1}{a + 1} ② ∫2a2b1xdx\displaystyle \int _{2a} ^{2b} \frac{1}{x} dx=ln⁡2b2a=ln⁡ba\displaystyle = \ln \frac{2 b}{2 a} = \ln \frac{b}{a} ③ ∫a2b21xdx\displaystyle \int _{a ^{2}} ^{b ^{2}} \frac{1}{x} dx=ln⁡b2a2=2ln⁡ba\displaystyle = \ln \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 2 \ln \frac{b}{a} ④ ∫ab1xdx\displaystyle \int _{\sqrt{a}} ^{\sqrt{b}} \frac{1}{x} dx=ln⁡ba=12ln⁡ba\displaystyle = \ln \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \ln \frac{b}{a} ⑤ ∫1a1b1xdx\displaystyle \int _{\frac{1}{a}} ^{\frac{1}{b}} \frac{1}{x} dx=ln⁡1b1a=ln⁡ab\displaystyle = \ln \frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} = \ln \frac{a}{b}

태그

#로그함수#정적분

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