공통수학1복소수AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

z+9/z가 실수일 조건

문제

복소수 z=a+biz = a + bi (aa, bb는 실수, b≠0b \ne 0)에 대하여 z+9z\displaystyle z + \frac{9}{z}가 실수일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, i=−1\displaystyle i = \sqrt{- 1}) [3점]

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9

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해설

9z=9a+bi=9(a−bi)a2+b2\displaystyle \frac{9}{z} = \frac{9}{a + bi} = \frac{9 ( a - bi )}{a ^{2} + b ^{2}}이므로 z+9z=(a+9aa2+b2)+(b−9ba2+b2)i\displaystyle z + \frac{9}{z} = \left( a + \frac{9 a}{a ^{2} + b ^{2}} \right) + \left( b - \frac{9 b}{a ^{2} + b ^{2}} \right) i 이 복소수가 실수이려면 허수부분이 00이어야 하므로 b(1−9a2+b2)=0\displaystyle b \left( 1 - \frac{9}{a ^{2} + b ^{2}} \right) = 0 b≠0b \ne 0이므로 1−9a2+b2=0\displaystyle 1 - \frac{9}{a ^{2} + b ^{2}} = 0 따라서 a2+b2=9a ^{2} + b ^{2} = 9

태그

#복소수#실수가 될 조건#분모의 실수화

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