공통수학1복소수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

z^6=1 거리 최댓값

문제

z6=1z ^{6} = 1을 만족하는 복소수 zz에 대하여 ∣z−z2∣\left| z - z ^{2} \right|의 최댓값은? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③2\displaystyle \sqrt{2}④3\displaystyle \sqrt{3}⑤22

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⑤

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해설

z6=1z ^{6} = 1을 만족하는 6개의 근은 오른쪽 그림의 복소평면에서 반지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 6개의 꼭지점이다. (단, z=1z = 1포함) 그러므로 절대값의 성질에서 ∣z−z2∣=∣z∣∣1−z∣=∣1−z∣\left| z - z ^{2} \right| = \left| z \right| \left| 1 - z \right| = \left| 1 - z \right| ↔\leftrightarrow 1에서 zz까지의 거리 그러므로 1에서 가장 멀리 떨어져있는 점은 z4=−1z _{4} = - 1이다. 그러므로 최댓값은 1−(−1)=21 - ( - 1 ) = 2

태그

#복소평면#절댓값

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