유리수 로그값 최댓값

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 최댓값을 구하는 문제 해결하기 조건 (나)에서 $\displaystyle \log _{a} b = \frac{n}{m}$($m$과 $n$은 서로소인 자연수)라 하면 $\displaystyle b = a ^{\frac{n}{m}}$이다. $\displaystyle \log a < \frac{3}{2}$에서 $\displaystyle a < 10 ^{\frac{3}{2}}$이고, 조건 (가)에서 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{m}} < a ^{2} < 1000$이다. (ⅰ) $m = 1$일 때, $1 < a < a ^{n} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다. (ⅱ) $m = 2$일 때, $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{2}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 자연수 $n$은 $3$이고, $a$, $b$는 자연수이므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{3}{2}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 4 , 8 \right)$, $\left( 9 , 27 \right)$, $\left( 16 , 64 \right)$, $\left( 25 , 125 \right)$이다. (ⅲ) $m = 3$일 때, $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{3}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 자연수 $n$은 $4$, $5$이다. ① $m = 3$, $n = 4$일 때, $a$, $b$는 자연수이므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{4}{3}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 8 , 16 \right)$, $\left( 27 , 81 \right)$이다. ② $m = 3$, $n = 5$일 때, $a$, $b$는 자연수이므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{5}{3}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 8 , 32 \right)$, $\left( 27 , 243 \right)$이다. (ⅳ) $m = 4$일 때, $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{4}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 자연수 $n$은 $5$, $7$이다. ① $m = 4$, $n = 5$일 때, $a$, $b$는 자연수이므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{5}{4}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 16 , 32 \right)$이다. ② $m = 4$, $n = 7$일 때, $a$, $b$는 자연수이므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{7}{4}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 순서쌍 $\left( a , b \right)$는 $\left( 16 , 128 \right)$이다. (ⅴ) $m \geq 5$일 때, $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{m}} < a ^{2} < 1000$에서 $\displaystyle a ^{\frac{n}{m}}$이 자연수이므로 $a \geq 2 ^{5}$이고 $a ^{2} \geq 2 ^{10} = 1024$이다. 그러므로 $\displaystyle 1 < a < a ^{\frac{n}{m}} < a ^{2} < 1000$을 만족시키는 자연수 $a$는 존재하지 않는다. 따라서 (ⅰ)~(ⅴ)에서 $a + b$의 최댓값은 $27 + 243 = 270$이다.