대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

유리컵 쌓기 높이

문제

어느 공장에서 생산하는 직원뿔대 모양의 유리컵의 높이는 aa(cm)이고 크기와 모양은 모두 일정하다. [그림 1]과 같이 유리컵 두 개를 밑면이 지면과 평행하도록 지면 위에 포개어 쌓으면 유리컵 한 개의 높이의 23\displaystyle \frac{2}{3}만큼 항상 겹치게 된다. [그림 2]와 같이 유리컵 33개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이가 2020(cm)이다. 유리컵 66개를 이와 같은 방법으로 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이는 kk(cm)이다. kk의 값은? (단, 유리컵을 쌓은 지면은 평평하다.) [3점]

[그림 1] [그림 2] ①3030②3232③3434④3636⑤3838

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②

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해설

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용한 실생활 문제 해결하기

23a\displaystyle \frac{2}{3} a

유리컵 nn개를 포개어 쌓을 때, 지면으로부터 마지막으로 쌓은 유리컵의 밑면까지의 높이를 ana _{n}이라 하면 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 aa이고 공차가 13a\displaystyle \frac{1}{3} a인 등차수열이다. 따라서 an=a+(n−1)×13a\displaystyle a _{n} = a + ( n - 1 ) \times \frac{1}{3} a=(n+23)a\displaystyle = \left( \frac{n + 2}{3} \right) a이다. 그리고 a3=20a _{3} = 20이므로 a=12a = 12이다. 따라서 an=4(n+2)a _{n} = 4 ( n + 2 )이다. ∴k=a6=32\therefore k = a _{6} = 32

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#등차수열#실생활 활용

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