공통수학1다항식의 연산AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리화로 소거되는 분수의 합

문제

11+2+12+3+13+4+⋯+115+16\displaystyle \frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{15} + \sqrt{16}} 의 값은? [3점] ①22②33③44④15−1\displaystyle \sqrt{15} - 1⑤15\displaystyle \sqrt{15}

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②

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해설

자연수 kk 에 대하여 1k+k+1=k+1−k(k+1+k)(k+1−k)=k+1−k\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{( \sqrt{k + 1} + \sqrt{k} ) ( \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} )} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k} 이므로 주어진 식은 (2−1)+(3−2)+(4−3)+⋯+(16−15)\displaystyle ( \sqrt{2} - 1 ) + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) + ( \sqrt{4} - \sqrt{3} ) + \cdots + ( \sqrt{16} - \sqrt{15} ) =16−1=4−1=3\displaystyle = \sqrt{16} - 1 = 4 - 1 = 3 따라서 답은 ②이다.

태그

#분모의 유리화#소거#무리수의 계산

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