유리함수와 직선이 만드는 삼각형

$\displaystyle y = \frac{1}{x + 1}$과 $y = mx + n$이 한 점에서 만나므로 $( x + 1 ) ( mx + n ) = 1$, $mx ^{2} + ( m + n ) x + n - 1 = 0$ $D = ( m + n ) ^{2} - 4 m ( n - 1 ) = m ^{2} + n ^{2} - 2 mn + 4 m = 0$ ---㉠ $y = mx + n$와 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 1 이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} n ( \frac{n}{m} ) = 1$, $n ^{2} = - 2 m$ －－－㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle \frac{n ^{4}}{4} + n ^{2} + n ^{3} - 2 n ^{2} = 0$, $n ^{4} + 4 n ^{3} - 4 n ^{2} = 0$ $n > 0$, $n ^{2} + 4 n - 4 = 0$, $\displaystyle n = - 2 + 2 \sqrt{2}$, $\displaystyle m = - \frac{n ^{2}}{2} = - \frac{1}{2} ( - 2 + 2 \sqrt{2} ) ^{2} = - 6 + 4 \sqrt{2}$ $\therefore$ $\displaystyle m + n = - 8 + 6 \sqrt{2}$$\displaystyle = 2 ( 3 \sqrt{2} - 4 )$