공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

유리함수와 직선 거리 최소

문제

[13 ~ 14] aa는 상수이고, 유리함수 f(x)=2x−a+3a−1\displaystyle {f ( x ) = \frac{2}{x - a} + 3 a - 1}에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

y=f(x)y = f ( x )

a=1a = 1일 때, 유리함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 직선 y=−x+3y = - x + 3 사이의 거리의 최솟값은? [4점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22⑤5\displaystyle \sqrt{5}

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④

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해설

[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 최대, 최소 문제 해결하기

y=f(x)y = f ( x ) y=−x+3y = - x + 3

a=1a = 1이므로 유리함수 y=2x−1+2\displaystyle y = \frac{2}{x - 1} + 2의 그래프의 점근선은 x=1x = 1, y=2y = 2이다. 직선 x+y−3=0x + y - 3 = 0은 두 점근선의 교점 (1,2)( 1 , 2 )를 지나므로 이 유리함수의 그래프는 직선 x+y−3=0x + y - 3 = 0에 대하여 대칭이다. 따라서 x>1x > 1인 경우만 생각해도 된다. 유리함수 그래프 위를 움직이는 한 점을 P(t,2t−1+2)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{t} , \frac{2}{t - 1} + 2 \right)라 하면 점 P\mathrm{P}와 직선 사이의 거리는 ∣t+2t−1+2−3∣2=∣t−1+2t−1∣2\displaystyle \frac{\left| t + \frac{2}{t - 1} + 2 - 3 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{\left| t - 1 + \frac{2}{t - 1} \right|}{\sqrt{2}}이다. t>1t > 1이므로 (t−1)+2t−1≥22\displaystyle ( t - 1 ) + \frac{2}{t - 1} \geq 2 \sqrt{2}이다. 따라서 구하는 거리의 최솟값은 22이다.

태그

#점과 직선 사이의 거리#산술기하평균

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