공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수와 점근선

문제

유리함수 f(x)=4x−a−4(a>1)\displaystyle f \left( x \right) = \frac{4}{x - a} - 4 \left( a > 1 \right) 에 대하여 좌표평면에서 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 xx축, yy축과 만나는 점을 각각 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하고 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프의 두 점근선이 만나는 점을 C{\mathrm{C}}라 하자. 사각형 OBCA{\mathrm{OBCA}}의 넓이가 24\mathrm{24}일 때, 상수 aa의 값은? (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.) [4점] ①3\mathrm{3}②72\displaystyle \frac{7}{2}③4\mathrm{4}④92\displaystyle \frac{9}{2}⑤5\mathrm{5}

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⑤

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해설

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 유리함수 y=4x−a−4(a>1)\displaystyle y = \frac{4}{x - a} - 4 \left( a > 1 \right)의 그래프의 두 점근선은 x=ax = a, y=−4y = - 4이고 A(a+1,0)\mathrm{A} \mathit{\left( a + 1 , 0 \right)}, B(0,−4a−4)\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( 0 , - \frac{4}{a} - 4 \right)}, C(a,−4){\mathrm{C}} \mathit{(} a , - 4 )이다. 유리함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프와 사각형 OBCA{\mathrm{OBCA}}는 그림과 같다.

사각형 OBCA{\mathrm{OBCA}}의 넓이를 SS라 하면 SS는 삼각형 OCA{\mathrm{OCA}}의 넓이와 삼각형 OBC{\mathrm{OBC}}의 넓이의 합과 같다. 점 C{\mathrm{C}}에서 xx축, yy축에 내린 수선의 발을 각각 D{\mathrm{D}}, E{\mathrm{E}}라 하면 SS=12×OA‾×CD‾+12×OB‾×CE‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OA}}} \times \overline{{\mathrm{CD}}} + \frac{1}{2} \times \overline{{\mathrm{OB}}} \times \overline{{\mathrm{CE}}} =12×(a+1)×4+12×(4a+4)×a=4a+4\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( a + 1 ) \times 4 + \frac{1}{2} \times \left( \frac{4}{a} + 4 \right) \times a = 4 a + 4 4a+4=244 a + 4 = 24에서 a=5a = 5

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#유리함수#점근선

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