유리함수 역함수 보기

$\displaystyle f' ( x ) = \frac{8 x ( x ^{2} + 3 ) - 4 x ^{2} \times 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{24 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$ 양의 실수 전체의 집합에서 $f' ( x ) > 0$이므로 $f ( x )$는 증가함수이다. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 교점은 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$의 교점과 같다. $f ( x ) = x$에서 $x ^{3} - 4 x ^{2} + 3 x = x ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 0$이므로 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 교점의 $x$좌표는 $1$, $3$이다. $\displaystyle f'' ( x ) = \frac{24 ( x ^{2} + 3 ) ^{2} - 24 x \times 2 ( x ^{2} + 3 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{4}}$$\displaystyle = \frac{72 ( 1 - x ) ( 1 + x )}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}}$ 곡선 $y = f ( x )$는 열린 구간 $( 0 , 1 )$에서 아래로 볼록하고, 열린 구간 $( 1 , \infty )$에서 위로 볼록하며, 변곡점은 $( 1 , 1 )$이다. 두 함수 $f ( x )$와 $g ( x )$의 그래프 개형은 다음과 같다.

함수 $h ( x )$는 닫힌 구간 $[ 1 , 3 ]$에서만 $h ( x ) {\geq} 0$이고, 함수 $h ( x )$의 그래프 개형은 다음과 같다.

ㄱ. 두 곡선 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 교점의 $x$좌표는 $1$, $3$이므로 $f ( 1 ) = g ( 1 ) = 1$ $h ( 1 ) = 0$ (참) ㄴ. 두 양수 $a$, $b$에 대하여 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {h ( x ) dx}$의 값이 최대가 되려면 닫힌 구간 $[ a , b ]$에서 $h ( x ) {\geq} 0$이고 $b - a$의 값이 최대이어야 하므로 $a = 1$, $b = 3$ 그러므로 $b - a = 2$ (참) ㄷ. $f ( g ( x ) ) = x$에서 $f' ( g ( x ) ) g' ( x ) = 1$이고 $\displaystyle g' ( x ) = \frac{1}{f' ( g ( x ) )}$ $\displaystyle h' ( x ) = f' ( x ) - g' ( x ) = f' ( x ) - \frac{1}{f' ( g ( x ) )}$ $\displaystyle g'' ( x ) = - \frac{f'' ( g ( x ) ) g' ( x )}{\left\{ f' ( g ( x ) ) \right\} ^{2}}$ 곡선 $y = f ( x )$가 점 $( 1 , 1 )$에서만 변곡점을 가지므로 $f'' ( 1 ) = 0$ $f ( 1 ) = g ( 1 ) = 1$이므로 $\displaystyle g'' ( 1 ) = - \frac{f'' ( g ( 1 ) ) g' ( 1 )}{\left\{ f' ( g ( 1 ) ) \right\} ^{2}} = - \frac{f'' ( 1 ) g' ( 1 )}{\left\{ f' ( 1 ) \right\} ^{2}} = 0$ $h'' ( 1 ) = f'' ( 1 ) - g'' ( 1 ) = 0$ (ⅰ) $0 < x < 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f'' ( x ) > 0$, $g' ( x ) > 0$, $0 < g ( x ) < 1$이므로 $\displaystyle g'' ( x ) = - \frac{f'' ( g ( x ) ) g' ( x )}{\left\{ f' ( g ( x ) ) \right\} ^{2}} < 0$ 열린 구간 $( 0 , 1 )$에서 $h'' ( x ) = f'' ( x ) - g'' ( x ) > 0$ (ⅱ) $1 < x < 4$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g' ( x ) > 0$, $g ( x ) > 1$이고 $x > 1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f'' ( x ) < 0$이므로 $\displaystyle g'' ( x ) = - \frac{f'' ( g ( x ) ) g' ( x )}{\left\{ f' ( g ( x ) ) \right\} ^{2}} > 0$ 열린 구간 $( 1 , 4 )$에서 $h'' ( x ) = f'' ( x ) - g'' ( x ) < 0$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $h' ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $h' ( x )$는 $x = 1$에서 최댓값을 갖는다. $\displaystyle f' ( 1 ) = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle h' ( 1 ) = f' ( 1 ) - \frac{1}{f' ( g ( 1 ) )} = f' ( 1 ) - \frac{1}{f' ( 1 )} = \frac{5}{6}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ