유리함수 위 직사각형 넓이

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 $x > 0$에서 정의된 함수 $\displaystyle y = \frac{2}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 함수 $\displaystyle y = \frac{2}{x - 1} + 2$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle y = \frac{2}{x - 1} + 2$의 그래프 위의 점 $\displaystyle {\mathrm{P}} \mathit{\left( t , \frac{2}{t - 1} + 2 \right)}$ (단, $t > 1$)에 대하여 직사각형 ${\mathrm{R}} \mathit{\mathrm{O}} \mathit{\mathrm{Q}} \mathit{\mathrm{P}}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = t \left( \frac{2}{t - 1} + 2 \right)$이다. 이때, 산술평균, 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle S = ( t - 1 + 1 ) \left( \frac{2}{t - 1} + 2 \right)$$\displaystyle = 4 + 2 \left( t - 1 \right) + \frac{2}{t - 1}$ $\displaystyle \geq 4 + 2 \sqrt{2 ( t - 1 ) \left( \frac{2}{t - 1} \right)} = 8$ (단, 등호는 $t = 2$일 때 성립한다.) 따라서 직사각형 ${\mathrm{R}} \mathit{\mathrm{O}} \mathit{\mathrm{Q}} \mathit{\mathrm{P}}$의 넓이의 최솟값은 $8$이다.