유리함수 수열의 합

[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다. 곡선 $\displaystyle f ( x ) = 4 + \frac{60}{2 x - 15}$의 그래프는 그림과 같다.

곡선 $y = f ( x )$의 그래프는 점 $\displaystyle \left( \frac{15}{2} , 4 \right)$에 대해 대칭이므로 $f ( 7 ) + f ( 8 ) = 8$, $f ( 6 ) + f ( 9 ) = 8$, $f ( 5 ) + f ( 10 ) = 8$, $f ( 4 ) + f ( 11 ) = 8$, $f ( 3 ) + f ( 12 ) = 8$, $f ( 2 ) + f ( 13 ) = 8$, $f ( 1 ) + f ( 14 ) = 8$ 에서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{14} a _{n} = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + \cdots + f ( 14 ) = 56$ 또, $a _{15} = f ( 15 ) = 8$ $\displaystyle a _{16} = f ( 16 ) = 4 + \frac{60}{2 \times 16 - 15} = 7 + \frac{9}{17} < 8$ $a _{17} = f ( 17 ) > 4$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{16} a _{n} < 73 < \sum\limits _{n = 1} ^{17} a _{n}$이다. 따라서 $m$의 최댓값은 $16$이다.