공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

유리함수 선분 길이

문제

자연수 kk에 대하여 두 함수 f(x)=−kx+2kx−1,g(x)=2kx−4kx−1\displaystyle f ( x ) = \frac{- kx + 2 k}{x - 1} , g ( x ) = \frac{2 kx - 4 k}{x - 1} 가 있다. 직선 x=a(a>2)x = a ( a > 2 )가 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=g(x)y = g ( x )와 만나는 점을 각각 PP, QQ라 할 때, 선분 PQPQ의 길이가 자연수가 되도록 하는 실수 aa의 최댓값을 aka _{k}라 하자. ∑k=115ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-수열 f(x)=−−kx+2kx−1=kx−1−k\displaystyle f ( x ) = - \frac{- kx + 2 k}{x - 1} = \frac{k}{x - 1} - k이므로 곡선 y=f(x)y = f ( x )의 두 점근선의 방정식은 x=1,y=−kx = 1 , y = - k 또, g(x)=2kx−4kx−1=−2kx−1+2k\displaystyle g ( x ) = \frac{2 kx - 4 k}{x - 1} = \frac{- 2 k}{x - 1} + 2 k이므로 곡선 y=g(x)y = g ( x )의 두 점근선의 방정식은 x=1,y=2kx = 1 , y = 2 k

따라서 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=g(x)y = g ( x )의 점근선 중 xx축과 평행한 두 직선 y=−ky = - k, y=2ky = 2 k 사이의 거리는 3k3 k이므로 위 그림에서 선분 PQ‾\displaystyle {\overline{PQ}}의 길이가 자연수가 되도록 하는 실수 aa가 최대인 경우는 PQ‾=3k−1\displaystyle {\overline{PQ}} = 3 k - 1일 때이다. 두 점 P,QP , Q의 yy좌표는 각각 ka−1−k\displaystyle \frac{k}{a - 1} - k, −2ka−1+2k\displaystyle \frac{- 2 k}{a - 1} + 2 k 이므로 PQ‾=(−2ka−1+2k)−(ka−1−k)=−3ka−1+3k\displaystyle {\overline{PQ}} = \left( \frac{- 2 k}{a - 1} + 2 k \right) - \left( \frac{k}{a - 1} - k \right) = \frac{- 3 k}{a - 1} + 3 k 따라서 −3ka−1+3k=3k−1\displaystyle \frac{- 3 k}{a - 1} + 3 k = 3 k - 1에서 −3ka−1=−1\displaystyle \frac{- 3 k}{a - 1} = - 1이므로 a=3k+1a = 3 k + 1, 즉 ak=3k+1a _{k} = 3 k + 1 따라서 ∑k=115ak=∑k=115(3k+1)=3×15×162+15=375\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{15} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{15} ( 3 k + 1 ) = 3 \times \frac{15 \times 16}{2} + 15 = 375

태그

#유리함수#수열의 합

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