공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 선분 최솟값

문제

그림과 같이 함수 f(x)=82x−1\displaystyle f ( x ) = \frac{8}{2 x - 1}(x>12)\displaystyle \left( x > \frac{1}{2} \right)의 그래프와 직선 y=−xy = - x가 있다. 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프 위의 점 P\mathrm{P}를 지나고 xx축에 수직인 직선이 직선 y=−xy = - x와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이의 최솟값은? [4점]

y=f(x)y = f \left( x \right) y=−xy = - x 12\displaystyle \frac{1}{2}

①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기 xx축과 수직인 직선을 x=kx = k(k>12)\displaystyle \left( k > \frac{1}{2} \right)라 하면 P(k,82k−1)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{k} , \frac{8}{2 k - 1} \right), Q(k,−k)\mathrm{Q} \left( \mathit{k} , - k \right) PQ‾=82k−1+k\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \frac{8}{2 k - 1} + k=82k−1+12(2k−1)+12\displaystyle = \frac{8}{2 k - 1} + \frac{1}{2} \left( 2 k - 1 \right) + \frac{1}{2} ≥282k−1×12(2k−1)+12=92\displaystyle \geq 2 \sqrt{\frac{8}{2 k - 1} \times \frac{1}{2} \left( 2 k - 1 \right)} + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 등호는 k=52\displaystyle k = \frac{5}{2}일 때 성립)\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right) 따라서 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이의 최솟값은 92\displaystyle \frac{9}{2}

태그

#산술기하평균#유리함수

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