유리함수 세 점 일직선

[출제의도] 유리함수의 그래프를 이용하여 상수의 값을 구하는 문제를 해결한다. 곡선 $y$$\displaystyle = \frac{k}{x - 2} + 1$이 $x$축과 만나는 점은 $0$$\displaystyle = \frac{k}{x - 2} + 1$에서 $\mathrm{A} ( \mathit{2} - k , 0 )$ 곡선 $y$$\displaystyle = \frac{k}{x - 2} + 1$이 $y$축과 만나는 점은 $y$$\displaystyle = \frac{k}{0 - 2} + 1$에서 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , \mathit{-} \frac{k}{2} + 1 \right)$ 곡선 $y$$\displaystyle = \frac{k}{x - 2} + 1$의 두 점근선의 방정식은 $x$$= 2$, $y$$= 1$이므로 $\mathrm{C} ( \mathit{2} , 1 )$ 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$가 한 직선 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{1 - 0}{2 - ( 2 - k )}$$\displaystyle = \frac{1 - \left( - \frac{k}{2} + 1 \right)}{2 - 0}$ $\displaystyle \frac{1}{k}$$\displaystyle = \frac{k}{4}$ $k ^{2}$$= 4$ $k < 0$이므로 $k$$= \mathit{-} 2$ [다른 풀이] 유리함수 $\displaystyle y = \frac{p}{x - q} + r$($p \ne 0$, $p$, $q$, $r$는 상수)의 그래프는 두 점근선 $x = q$, $y = r$의 교점 $\left( q , r \right)$에 대하여 대칭이다. 그러므로 점 $\left( q , r \right)$를 지나는 직선이 유리함수 $\displaystyle y = \frac{p}{x - q} + r$의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나면 두 교점은 항상 점 $\left( q , r \right)$에 대하여 대칭이다.

따라서 곡선 $\displaystyle y = \frac{k}{x - 2} + 1$($k < 0$)의 두 점근선의 교점 $\mathrm{C} \left( 2 , 1 \right)$과 곡선 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 한 직선 위에 있으려면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{C}$에 대하여 대칭이어야 한다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 각각 $x$축, $y$축 위의 점이므로 두 점의 좌표를 각각 $\left( a , 0 \right)$, $\left( 0 , b \right)$로 놓을 수 있다. 점 $\mathrm{C}$가 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle \frac{a + 0}{2}$$= 2$, $\displaystyle \frac{0 + b}{2}$$= 1$ 즉, $a = 4$, $b = 2$ 따라서 곡선 $\displaystyle y = \frac{k}{x - 2} + 1$이 점 $\mathrm{A} \left( 4 , 0 \right)$을 지나므로 $0$$\displaystyle = \frac{k}{4 - 2} + 1$$\displaystyle = \frac{k}{2} + 1$ $k = \mathit{-} 2$