대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 삼각형 넓이 합

문제

자연수 nn에 대하여 그림과 같이 직선 x=2n−1x = 2 n - 1과 두 곡선 y=1x+1\displaystyle y = \frac{1}{x} + 1, y=1x+2\displaystyle y = \frac{1}{x + 2}의 교점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하고, 직선 x=2n+1x = 2 n + 1과 두 곡선 y=1x+1\displaystyle y = \frac{1}{x} + 1, y=1x+2\displaystyle y = \frac{1}{x + 2}의 교점을 각각 Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}, Qn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}이라 하자. 삼각형 PnQnPn+1\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}} P _{\mathit{n} + 1}의 넓이를 SnS _{\mathit{n}}이라 할 때, ∑n=18Sn=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} S _{n} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}} Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} Qn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} y=1x+1\displaystyle y = \frac{1}{x} + 1 y=1x+2\displaystyle y = \frac{1}{x + 2} x=2n−1x = 2 n - 1 x=2n+1x = 2 n + 1

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 성질을 이용하여 도형 문제 해결하기

Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}} Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} Qn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} y=1x+1\displaystyle y = \frac{1}{x} + 1 y=1x+2\displaystyle y = \frac{1}{x + 2} x=2n−1x = 2 n - 1 x=2n+1x = 2 n + 1 Pn′\mathrm{P}' _{\mathit{n}} Pn+1′\mathrm{P}' _{\mathit{n} + 1}

x=2n−1x = 2 n - 1과 x=2n+1x = 2 n + 1이 xx축과 만나는 점을 각각 Pn′\mathrm{P}' _{\mathit{n}}, Pn+1′\mathrm{P}' _{\mathit{n} + 1}라 하자. Sn=12PnQn‾×Pn′Pn+1′‾\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}} \times {\overline{\mathrm{P}' _{\mathit{n}} P' _{\mathit{n} + 1}}}=(12n−1−12n+1)+1\displaystyle = \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) + 1 ∑n=18Sn=∑n=18(12n−1−12n+1)+8\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{8} S _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{8} \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) + 8 =(11−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(115−117)+8\displaystyle = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{15} - \frac{1}{17} \right) + 8 =1−117+8=15217\displaystyle = 1 - \frac{1}{17} + 8 = \frac{152}{17} ∴\thereforep+q=17+152=169p + q = 17 + 152 = 169

태그

#부분분수#시그마#유리함수

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