유리함수 조건 영역

[출제의도] 유리함수를 이용하여 문제해결하기 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{ax + b - 2} + 3 = \frac{\frac{1}{a}}{x - \frac{2 - b}{a}} + 3$이므로 점근선은 두 직선 $\displaystyle x = \frac{2 - b}{a}$, $y = 3$이다. (ⅰ) $a > 0$, $b \geq 2$일 때 $\displaystyle \frac{2 - b}{a} < 0$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} > 0$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$x > 0$에서 $g \left( x \right) > 3$이므로 $a > 0$, $b \geq 2$일 때 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a > 0$, $b < 2$일 때 $\displaystyle \frac{2 - b}{a} > 0$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} > 0$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle x > \frac{2 - b}{a}$에서 $g \left( x \right) > 3$이므로 $a > 0$, $b < 2$일 때 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $a < 0$, $b \geq 2$일 때 $\displaystyle \frac{2 - b}{a} > 0$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} < 0$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$\displaystyle 0 < x < \frac{2 - b}{a}$에서 $g \left( x \right) > 3$이므로 $a < 0$, $b \geq 2$일 때 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅳ) $a < 0$, $b < 2$일 때 $\displaystyle \frac{2 - b}{a} < 0$이고 $\displaystyle \frac{1}{a} < 0$이므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프에서 $x > 0$일 때, $\displaystyle \frac{1}{b - 2} + 3 < g \left( x \right) < 3$이므로 조건 (가)에서 $\displaystyle 1 \leq \frac{1}{b - 2} + 3$ $b - 2 < 0$이므로 $\displaystyle - \frac{1}{2} \geq b - 2$ $\therefore$ $\displaystyle b \leq \frac{3}{2}$ 따라서 $a < 0$, $\displaystyle b \leq \frac{3}{2}$일 때 조건 (가)를 만족시킨다. 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{x - 2} + 3$의 그래프의 $x$절편은 $\displaystyle \frac{5}{3}$, $y$절편은 $\displaystyle \frac{5}{2}$이므로 조건 (나)를 만족시키는 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $\displaystyle y = \frac{1}{x - 2} + 3$의 그래프는 그림과 같다.

조건 (나)에서 $\displaystyle f \left( \frac{5}{3} \right) \geq 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{5}{3} a + b \geq 0$ $\therefore$ $\displaystyle b \geq - \frac{5}{3} a$ 따라서 $a < 0$, $\displaystyle 0 < b \leq \frac{3}{2}$, $\displaystyle b \geq - \frac{5}{3} a$에서 조건 (가), (나)를 만족시키므로 영역 $R$를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

양수 $k$애 대하여 $x ^{2} + y ^{2} = k ^{2}$이라 하면 $k$는 중심이 $( 0 , 0 )$인 원의 반지름의 길이이다.

점 $( a , b )$는 영역 $R$에 속하는 점이고, 그림에서 $\displaystyle x = - \frac{9}{10} , y = \frac{3}{2}$일 때, $k$가 최대이므로 $a ^{2} + b ^{2}$의 최댓값은 $\displaystyle M = \left( - \frac{9}{10} \right) ^{2} + \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} = \frac{306}{100}$ 따라서 $100 M = 306$