유리함수 조건

[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 조건 (가)에서 곡선 ${y = f ( x )}$가 직선 ${y = 2}$와 만나는 점의 개수와 직선 ${y = \mathit{-} 2}$와 만나는 점의 개수의 합은 ${1}$이다. 곡선 ${y = f ( x )}$가 ${x}$축과 평행한 직선과 만나는 점의 개수는 점근선을 제외하면 모두 ${1}$이므로 두 직선 ${y = 2}$, ${y = \mathit{-} 2}$ 중 하나는 곡선 ${y = f ( x )}$의 점근선이다. 이때 곡선 ${y = f ( x )}$의 점근선이 직선 ${y = b}$이므로 ${b = 2}$ 또는 ${b = \mathit{-} 2}$ …… ㉠ $\displaystyle {f ( x ) = \frac{a}{x} + b}$, 즉 $\displaystyle {y = \frac{a}{x} + b}$에서 $\displaystyle {\frac{a}{x} = y - b}$, $\displaystyle {x = \frac{a}{y - b}}$ ${x}$와 ${y}$를 서로 바꾸면 $\displaystyle {y = \frac{a}{x - b}}$ 그러므로 $\displaystyle {f ^{- 1} ( x ) = \frac{a}{x - b}}$이다. 조건 (나)에서 ${f ^{- 1} ( 2 ) = f ( 2 ) - 1}$이므로 $\displaystyle {\frac{a}{2 - b} = \frac{a}{2} + b - 1}$ …… ㉡ ㉡에서 ${b \ne 2}$이므로 ㉠에서 ${b = \mathit{-} 2}$이다. ㉡에 ${b = \mathit{-} 2}$를 대입하면 $\displaystyle {\frac{a}{4} = \frac{a}{2} - 3}$, ${a = 12}$ 따라서 $\displaystyle {f ( x ) = \frac{12}{x} - 2}$이므로 $\displaystyle {f ( 8 ) = \frac{12}{8} - 2 = \mathit{-} \frac{1}{2}}$ [참고]