공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 점근선 교점

문제

함수 f(x)=bxax+1\displaystyle f \left( x \right) = \frac{bx}{ax + 1}의 정의역과 치역이 같다. 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right)의 두 점근선의 교점이 직선 y=2x+3y = 2 x + 3 위에 있을 때, a+ba + b의 값은? (단, aa와 bb는 00이 아닌 상수이다.) [4점] ①−23\displaystyle - \frac{2}{3}②−13\displaystyle - \frac{1}{3}③00④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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①

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해설

[출제의도] 유리함수의 그래프와 일차함수의 성질을 이해하여 주어진 문제를 해결한다. 정의역 {x∣x≠−1a인실수}\displaystyle \left. \left\{ x | x \ne \mathit{-} \frac{1}{a} \right. \text{인} \text{실수} \right\}와 치역 {y∣y≠ba인실수}\displaystyle \left. \left\{ y | y \ne \frac{b}{a} \right. \text{인} \text{실수} \right\} 가 같으므로 −1a=ba\displaystyle - \frac{1}{a} = \frac{b}{a}, b=−1b = \mathit{-} 1이다. 두 점근선의 교점 (−1a,−1a)\displaystyle \left( - \frac{1}{a} , - \frac{1}{a} \right)이 직선 y=2x+3y = 2 x + 3위에 있으므로 −1a=−2a+3\displaystyle - \frac{1}{a} = \mathit{-} \frac{2}{a} + 3, a=13\displaystyle a = \frac{1}{3} 따라서 a+b=13+(−1)=−23\displaystyle a + b = \frac{1}{3} + ( - 1 ) = \mathit{-} \frac{2}{3}

태그

#유리함수#점근선

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