유리함수 절댓값 보기

[출제의도] 유리함수의 그래프의 여러 가지 성질을 추론한다. ㄱ. 함수 $\displaystyle f ( x ) = \left| \frac{k}{2 x} - 2 \right|$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $\displaystyle 0 = \left| \frac{k}{2 x} - 2 \right|$에서 $\displaystyle \frac{k}{2 x} = 2$ 즉, $\displaystyle x = \frac{k}{4}$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{k}{4} , 0 \right)$이다. (참) ㄴ. 자연수 $k$에 대하여 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표보다 클 때, 점 $\mathrm{P}$는 함수 $\displaystyle y = 2 - \frac{k}{2 x}$$\displaystyle \left( x > \frac{k}{4} \right)$의 그래프 위의 점이다. 직선 $y = 2$는 함수 $\displaystyle y = 2 - \frac{k}{2 x}$의 그래프의 한 점근선이므로 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $2$보다 작다. 따라서 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이는 $2$보다 작다. (참) ㄷ. 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표가 $k$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( k , \frac{3}{2} \right)$이므로 삼각형 $\mathrm{AQP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( k - \frac{k}{4} \right) \times \frac{3}{2} = \frac{9 k}{16}$이다. $9$와 $16$은 서로소이므로 $\displaystyle \frac{9 k}{16}$가 자연수가 되기 위해서 자연수 $k$는 $16$의 배수가 되어야 한다. 그러므로 자연수 $k$의 최솟값은 $16$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ