유리함수 일대일대응 조건의 최솟값 최댓값

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{ax - b}{cx + d}$가 $x > - 2$, $y < 5$에서 일대일 대응이려면 그래프가 다음 그림과 같아야 하므로 직선 $x = - 2$, $y = 5$가 점근선이어야 한다.

$f ( x )$$\displaystyle = \frac{ax - b}{cx + d} = \frac{a \left( x + \frac{d}{c} \right) - \frac{ad}{c} - b}{c \left( x + \frac{d}{c} \right)}$$\displaystyle = \frac{- \frac{ad}{c} - b}{c \left( x + \frac{d}{c} \right)} + \frac{a}{c}$ 에서 직선 $\displaystyle x = - \frac{d}{c}$, $\displaystyle y = \frac{a}{c}$가 함수 $f ( x )$의 그래프의 점근선이므로 $\displaystyle x = - \frac{d}{c} = - 2$, $\displaystyle y = \frac{a}{c} = 5$ $\displaystyle \frac{d}{c} = 2$, $\displaystyle \frac{a}{c} = 5$를 만족하는 자연수 $a , c , d$는 $c = 1$일 때, $a = 5$, $d = 2$ $c = 2$일 때, $a = 10$, $d = 4$ $c = 3$일 때, $a = 15$, $d = 6$ $c \geq 4$일 때는 $a \geq 20$이므로 조건을 만족하지 않는다. 이때, $a + b + c + d$가 최소이려면 $a = 5$, $c = 1$, $d = 2$이고, $b = 1$이어야 한다. 또, $a + b + c + d$가 최대이려면 $a = 15$, $c = 3$, $d = 6$이고, $b = 19$이어야 한다. 따라서 최솟값과 최댓값의 합은 $( 5 + 1 + 1 + 2 ) + ( 15 + 19 + 3 + 6 ) = 9 + 43$$= 52$