유리함수 이차함수 결합

[출제의도] 이차함수와 유리함수의 그래프를 추론하여 미지수의 값을 구한다. $a < 1$, 즉 $1 - a > 0$이므로 $x \leq a$에서 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1 - a}{x - 1} + 2$는 $x$의 값이 커지면 $y$의 값은 작아진다. …… ㉠ 이때 $x {\leq} a$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $y = 2$를 점근선으로 가지므로 $x {\leq} a$이면 $f ( a ) {\leq} f ( x ) < 2$ …… ㉡ 이다. 조건 (가)에 의하여 $x \leq 0$에서 함수 $f ( x )$는 $x = \mathit{-} 2$에서 최소이므로 $a$의 값의 범위를 다음과 같이 나누어 구할 수 있다. (ⅰ) $- 2 < a < 1$인 경우 ㉠에서 $f ( - 2 ) > f ( a )$가 되어 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = \mathit{-} 2$인 경우

이다. ㉠에서 $x \leq \mathit{-} 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq f ( - 2 )$이다. $f ( - 2 ) = f ( 0 ) = 1$이고 $- 2 < x \leq 0$에서 $f ( x )$$= bx ( x + 2 ) + 1$이므로 조건 (가), (나)를 만족시키려면 $b < 0$이어야 한다. 한편, 조건 (나)에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 점의 개수와 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = \mathit{-} 2$와 만나는 점의 개수의 합이 $2$이어야 한다. ㉡에서 $f ( - 2 ) = 1 \leq f ( x ) < 2$ 이므로 $x \leq \mathit{-} 2$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $y = 2$ 또는 $y = \mathit{-} 2$와 만나지 않는다. $x > \mathit{-} 2$에서 함수 $f ( x ) = bx ( x + 2 ) + 1$($b < 0$)의 그래프는 직선 $y = \mathit{-} 2$와 한 점에서 만난다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키려면 [그림 1]과 같이 함수 $f ( x ) = bx ( x + 2 ) + 1$의 그래프는 직선 $y = 2$에 접해야 한다.

[그림 1]

함수 $f ( x ) = bx ( x + 2 ) + 1$은 $x = \mathit{-} 1$에서 최대이므로 $f ( - 1 ) = 2$이다. $f ( - 1 )$$= b \times ( - 1 ) \times 1 + 1$$= 2$에서 $b = \mathit{-} 1$ 따라서 이때의 $a$, $b$의 순서쌍은 $\left( - 2 , - 1 \right)$이다. (ⅲ) $a < \mathit{-} 2$인 경우 $f ( a ) = f ( 0 ) = 1$이고 ㉠, ㉡에서 $x {\leq} a$일 때 $1 \leq f ( x ) < 2$이다. $a < x {\leq} 0$에서 $f ( x ) = bx ( x - a ) + 1$이므로 조건 (가)를 만족시키려면 함수 $f ( x )$는 $x = \mathit{-} 2$에서 최소이어야 한다. 즉, $b > 0$이고 $\displaystyle \frac{a}{2} = \mathit{-} 2$이어야 한다. $a = \mathit{-} 4$이고, 함수 $f ( x )$는

이다. 한편, ㉡에서 $f ( - 4 ) = 1 \leq f ( x ) < 2$ 이므로 $x \leq \mathit{-} 4$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $y = 2$ 또는 $y = \mathit{-} 2$와 만나지 않는다. $x > \mathit{-} 4$에서 함수 $f ( x ) = bx ( x + 4 ) + 1$의 그래프는 직선 $y = 2$와 한 점에서 만난다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키려면 [그림 2]와 같이 $x > \mathit{-} 4$에서 함수 $f ( x ) = bx ( x + 4 ) + 1$의 그래프는 직선 $y = \mathit{-} 2$에 접해야 한다.

[그림 2]

함수 $f ( x ) = bx ( x + 4 ) + 1$은 $x = \mathit{-} 2$에서 최소이므로 $f ( - 2 ) = \mathit{-} 2$이다. $f ( - 2 )$$= b \times ( - 2 ) \times 2 + 1$$= \mathit{-} 2$에서 $\displaystyle b = \frac{3}{4}$ 따라서 이때의 $a$, $b$의 순서쌍은 $\displaystyle \left( - 4 , \frac{3}{4} \right)$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 두 실수 $a$, $b$의 모든 순서쌍 $\left( a _{1} , b _{1} \right)$, $\left( a _{2} , b _{2} \right)$는 $\left( - 2 , - 1 \right)$, $\displaystyle \left( - 4 , \frac{3}{4} \right)$이다. 따라서 $- 40 \times \left( a _{1} + b _{1} + a _{2} + b _{2} \right)$$\displaystyle = \mathit{-} 40 \times \left\{ - 2 + \left( - 1 \right) + \left( - 4 \right) + \frac{3}{4} \right\}$ $= 250$