유리함수 교점 개수

[출제의도] 유리함수의 그래프와 직선의 교점의 개수를 구하는 문제를 해결한다. $f ( x )$$\displaystyle = \frac{bx}{x - a}$$\displaystyle = \frac{b ( x - a ) + ab}{x - a}$$\displaystyle = \frac{ab}{x - a} + b$ 에서 곡선 $y = f ( x )$의 점근선의 방정식은 $x = a$, $y = b$이다. 이때 곡선 $y$$= f ( x + 2 a ) + a$는 곡선 $y = f ( x )$를 $x$축의 방향으로 $- 2 a$만큼, $y$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 것이므로 곡선 $y$$= f ( x + 2 a ) + a$의 점근선의 방정식은 $x$$= a - 2 a$$= \mathit{-} a$, $y$$= b + a$, 즉 $x = \mathit{-} a$와 $y$$= b + a$이다. 이제 $\left\{ t \left| h ( t ) = 1 \right\} \right.$$= \left\{ t \left| - 9 \leq t \leq - 8 \right\} \right.$$\cup \left\{ t \left| t \geq k \right\} \right.$ …… ㉠ 를 만족시키는 경우를 찾아보자. 이때 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $h ( t )$이므로 집합 $\left\{ t \left| h ( t ) = 1 \right\} \right.$은 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 집합을 나타낸다. 따라서 ㉠은 함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 범위는 $- 9 \leq t \leq - 8$ 또는 $t \geq k$임을 나타낸다. (ⅰ) $b > 0$인 경우 $ab > 0$, $b + a > b > 0$이므로 함수 $y = g ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 범위는 $t < b$ 또는 $b + a < t \leq g ( a )$ 이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $b < 0$인 경우 $ab < 0$이고 $b < b + a$이다. 이때 $g ( a )$$= f ( 3 a ) + a$$\displaystyle = \frac{3}{2} b + a$ …… ㉡ 이므로 다음의 경우로 나누어 살펴보자. (ⅱ-1) $b < g ( a )$인 경우

함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 범위는 $b < t < g ( a )$ 또는 $t \geq b + a$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ-2) $b = g ( a )$인 경우

함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 범위는 $t = g ( a )$ 또는 $t \geq b + a$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ-3) $b > g ( a )$인 경우

함수 $y = g ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $1$이 되는 모든 $t$의 값의 범위는 $g ( a )$$\leq t$$\leq b$ 또는 $t$$\geq b + a$ 이다. 따라서 ㉠을 만족시키기 위해서는 $g ( a )$$= \mathit{-} 9$ $b$$= \mathit{-} 8$ $b + a$$= k$ 이어야 한다. ㉡에서 $g ( a )$$\displaystyle = \frac{3}{2} {\times} \left( - 8 \right) + a$$= \mathit{-} 12 + a$$= \mathit{-} 9$ 이므로 $a$$= 3$ $k$$= b + a$$= ( - 8 ) + 3$$= \mathit{-} 5$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} {}^{} \frac{- 8 x}{{x - 3} _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} & & {} ^{} \left( x < 3 \right) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} \\ _{} \frac{- 8 ( x + 6 )}{x + 3} + 3 & & {} _{} \left( x \geq 3 \right) \end{cases}}$ 즉, $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} {}^{} - \frac{24}{x - 3 _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}}} - 8 & & {} ^{} \left( x < 3 \right) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} \\ _{} - \frac{24}{x + 3} - 5 & & {} _{} \left( x \geq 3 \right) \end{cases}}$ $g ( - k )$$= g ( 5 )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{24}{5 + 3} - 5$$= \mathit{-} 8$ 따라서 $a \times b \times g ( - k )$$= 3 \times ( - 8 ) \times ( - 8 )$$= 192$ [보충설명] 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{- 8 x}{x - 3}$에 대하여 함수 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} f ( x ) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} ^{} & & {} ^{} \left( x < 3 \right) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} \\ _{} f ( x + 6 ) + 3 & & {} _{} \left( x \geq 3 \right) \end{cases}}$ 의 그래프와 직선 $y = t$는 그림과 같다.

이때 함수 $h ( t )$는 $\displaystyle h ( t ) = {\begin{cases} 0 _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} ^{} & & {} ^{} \left( t < \mathit{-} 9 \right) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} \\ 1 _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} & & \left( - 9 \leq t \leq - 8 \text{또는} t \geq \mathit{-} 5 \right) _{\begin{matrix} \\ \end{matrix}} \\ 2 _{} & & {} _{} \left( - 8 < t < \mathit{-} 5 \right) \end{cases}}$ 이다.