유리함수 곡선과 넓이

곡선 $\displaystyle y = \frac{3}{x - 1} \left( x > 1 \right)$과 직선 $\mathrm{AB}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 다음 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같다.

방정식 $\displaystyle 1 = \frac{3}{x - 1}$에서 $x - 1 = 3$, $x = 4$ 방정식 $\displaystyle 3 = \frac{3}{x - 1}$에서 $3 \left( x - 1 \right) = 3$, $3 x - 3 = 3$, $x = 2$ 즉 곡선 $\displaystyle y = \frac{3}{x - 1} \left( x > 1 \right)$이 두 직선 $y = 1$, $y = 3$과 만나는 교점의 $x$좌표가 각각 $4$, $2$이므로 $\mathrm{A} \left( 4 , 1 \right)$, $\mathrm{B} \left( 2 , 3 \right)$ 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y - 1 = \frac{3 - 1}{2 - 4} \left( x - 4 \right)$, 즉 $y = - x + 5$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{2} ^{4} {} \left\{ \left( - x + 5 \right) - \left( \frac{3}{x - 1} \right) \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{2} x ^{2} + 5 x - 3 \ln \left| x - 1 \right| \end{array} \right] _{2} ^{4}$ $= \left( - 8 + 20 - 3 \ln 3 \right) - \left( - 2 + 10 \right)$ $= 4 - 3 \ln 3$