미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x - \frac{1}{2}}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{2}}$ 에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\displaystyle \left( 1 , \frac{1}{2} \right)$ 에서의 접선과 원점 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$ 이다. ㄴ. 함수 $f ( x )$ 의 최솟값은 $\displaystyle - \frac{1}{8}$ 이다. ㄷ. 방정식 $f ( x ) - f ( 10 ) = 0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $2$ 개이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. $\displaystyle f {'} ( x ) = \frac{- x ( 3 x - 4 )}{( x ^{2} - 2 x + 2 ) ^{3}}$ , $f {'} ( 1 ) = 1$ 접선의 방정식은 $\displaystyle y = x - \frac{1}{2}$ 이므로 $\therefore$ 접선과 원점 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\therefore$ 참 ㄴ. $x = 0$ 에서 최솟값 $\displaystyle - \frac{1}{8}$ 을 갖는다. $\therefore$ 참 ㄷ. 함수 $f ( x )$ 의 그래프는 다음과 같다.

$f ( x ) - f ( 10 ) = 0$ 의 근은 $2$ 개다. $\therefore$ 참

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