유리함수 그래프 보기

[출제의도] 유리함수의 그래프를 이용하여 옳은 것을 찾을 수 있는가? $\displaystyle y = \frac{k}{x - 1} + 3$ 에서 $y = 0$이면 $\displaystyle x = 1 - \frac{k}{3} = \frac{3 - k}{3}$이므로 $\displaystyle A \left( \frac{3 - k}{3} , 0 \right)$ $x = 0$이면 $y = 3 - k$이므로 $B ( 0 , 3 - k )$ 또, 두 점근선의 교점을 $R$라 하면 $R ( 1 , 3 )$ 이때, 선분 $BP$의 중점이 $R$이므로 $P ( a , b )$라 하면 $\displaystyle \frac{0 + a}{2} = 1$에서 $a = 2$ $\displaystyle \frac{3 - k + b}{2} = 3$에서 $b = 3 + k$ 즉, $P ( 2 , 3 + k )$ ㄱ. $k = 1$이면 $P ( 2 , 4 )$ (참) ㄴ. 직선 $AB$의 기울기는 $\displaystyle \frac{k - 3}{\frac{3 - k}{3}} = - 3$ 직선 $AP$의 기출기는 $\displaystyle \frac{k + 3}{\frac{3 + k}{3}} = 3$ 따라서 두 기울기의 합은 $- 3 + 3 = 0$ (참) ㄷ. 사각형 $PBAQ$의 넓이는 사각형 $PBOQ$의 넓이에서 삼각형 $OAB$의 넓이를 빼면 된다. 사각형 $PBAQ$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left\{ ( 3 - k ) + ( 3 + k ) \right\} \times 2 - \frac{1}{2} \times \frac{3 - k}{3} \times ( 3 - k )$ $\displaystyle = 6 - \frac{( 3 - k ) ^{2}}{6}$ 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{3}{2}$보다 작고, 사각형 $PBAQ$의 넓이가 자연수이므로 삼각형 $OAB$의 넓이는 1이어야 한다. $\displaystyle \frac{( 3 - k ) ^{2}}{6} = 1$에서 $\displaystyle k = 3 - \sqrt{6}$ $\displaystyle 2 < \sqrt{6} < 3$ 이므로 $0 < k < 1$이다. 한편 작선 $BP$의 기울기는 $\displaystyle \frac{( 3 + k ) - ( 3 - k )}{2 - 0} = k$ 따라서 직선 $BP$의 기울기는 0과 1사이의 값이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.