공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유리함수 둘레 최솟값

문제

그림과 같이 함수 y=2x−1+2\displaystyle y = \frac{2}{x - 1} + 2의 그래프 위의 한 점 P\mathrm{P}에서 이 함수의 그래프의 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}라 하고, 두 점근선의 교점을 S\mathrm{S}라 하자. 사각형 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 둘레의 길이의 최솟값은? (단, 점 P\mathrm{\mathrm{P}}는 제11사분면 위의 점이다.) [4점]

y=2x−1+2\displaystyle y = \frac{2}{x - 1} + 2

①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②44③42\displaystyle 4 \sqrt{2}④88⑤82\displaystyle 8 \sqrt{2}

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③

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해설

[출제의도] 절대부등식의 의미를 이해하여 문제해결하기 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (a,b)\left( a , b \right)라 하자. b=2a−1+2\displaystyle b = \frac{2}{a - 1} + 2이므로 직사각형 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 둘레의 길이 2(PR‾+PQ‾)\displaystyle \mathrm{2} \left( \overline{PR} + \overline{PQ} \right)는 2(a−1)+2(b−2)≥22(a−1)×2(b−2)\displaystyle 2 ( a - 1 ) + 2 ( b - 2 ) \geq 2 \sqrt{2 ( a - 1 ) \times 2 \left( b - 2 \right)} =22(a−1)×4a−1\displaystyle = 2 \sqrt{2 ( a - 1 ) \times \frac{4}{a - 1}} =42\displaystyle = 4 \sqrt{2} ((단, 등호는 a−1=b−2a - 1 = b - 2일 때 성립하므로 a=1+2\displaystyle a = 1 + \sqrt{2}, b=2+2\displaystyle b = 2 + \sqrt{2}이다.)) 따라서 직사각형 PRSQ\mathrm{PRSQ}의 둘레의 길이의 최솟값은 42\displaystyle 4 \sqrt{2}

태그

#유리함수#산술기하평균

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