유리함수 등비수열

[출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다. $f \left( a \right)$, $f \left( b \right)$, $f \left( 12 \right)$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{k}{a}$, $\displaystyle f \left( b \right) = \frac{k}{b}$, $\displaystyle f \left( 12 \right) = \frac{k}{12}$에서 $\displaystyle \frac{k}{a} \times \frac{k}{12} = \left( \frac{k}{b} \right) ^{2}$이므로 $b ^{2} = 12 a$ $a$는 $12$보다 작은 자연수이고 $12 a$는 제곱수이므로 $a = 3$이다. $b ^{2} = 12 \times 3 = 36$에서 $b = 6$ 또, $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{k}{a} = 3$에서 $k = 9$ 따라서 $a + b + k = 3 + 6 + 9 = 18$ [다른 풀이] $\displaystyle \frac{k}{a}$, $\displaystyle \frac{k}{b}$, $\displaystyle \frac{k}{12}$가 이 순서대로 등비수열을 이루면 $a$, $b$, $12$도 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $b ^{2} = 12 a$ $a$는 $12$보다 작은 자연수이고 $12 a$는 제곱수이므로 $a = 3$이다. $b ^{2} = 12 \times 3 = 36$에서 $b = 6$ 또, $\displaystyle f \left( a \right) = \frac{k}{a} = 3$에서 $k = 9$ 따라서 $a + b + k = 3 + 6 + 9 = 18$