유리함수 최대·최소 합 0

폐구간 $[ - a , a ]$에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{x - 5}{( x - 5 ) ^{2} + 36}$ 에서 $x - 5 = t$로 놓으면 구하는 함수의 최댓값과 최솟값은 폐구간 $[ - a - 5 , a - 5 ]$에서 정의된 함수 $\displaystyle f ( t ) = \frac{t}{t ^{2} + 36}$의 최댓값과 최솟값과 같다. 이제 함수 $\displaystyle f ( t ) = \frac{t}{t ^{2} + 36}$의 그래프의 개형을 그려보자. i) $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {} f ( t ) = \lim\limits _{t \rightarrow - \infty} {} f ( t ) = 0$이므로 함수 $y = f ( t )$의 그래프의 점근선은 $x$축이다. ii) $t > 0$일 때 $f ( t ) > 0$이고, $t < 0$일 때 $f ( t ) < 0$이다. iii) $f ( - t ) = - f ( t )$이므로 $y = f ( t )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. iv) $\displaystyle f' ( t ) = \frac{1 ( t ^{2} + 36 ) - t \cdot 2 t}{( t ^{2} + 36 ) ^{2}} = \frac{36 - t ^{2}}{( t ^{2} + 36 ) ^{2}}$$= 0$에서 $t = 6$ 또는 $t = - 6$이고 $f' ( t )$의 분모는 항상 $0$보다 크므로 $f ( x )$는 $t = - 6$에서 극소이고 $t = 6$에서 극대이다. 따라서 함수 $y = f ( t )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이 때, 폐구간 $[ - a - 5 , a - 5 ]$은 $t = - 5$에 대하여 대칭인 구간이므로 함수 $y = f ( t )$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$에 대하여 $M + m = 0$ 즉, $m = - M$을 만족하려면 폐구간 $[ - a - 5 , a - 5 ]$은 $t = - 6$과 $t = 6$을 모두 포함해야 한다. $\therefore - a - 5 \leq - 6$이고 $a - 5 \geq 6$ $\therefore a \geq 1$이고 $a \geq 11$ $\therefore a \geq 11$ 따라서 구하는 $a$의 최솟값은 $11$이다.