유리·로그 함수 실근 개수

$x < 2$에서 함수 $\displaystyle y = \frac{4}{x - 3} + a$는 감소한다. 함수 $y = 5 \log _{2} x - b$는 증가하고 $f \left( 2 \right) = \left| 5 - b \right|$이다. (ⅰ) $5 - b < 0$, $b > 5$인 경우$a - 4 < b - 5$이면 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(가)에서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$는 서로 다른 세 점에서 만나지 않아야 하므로 아래 그림과 같이 $a - 4 \geq b - 5$, $b - a \leq 1$을 만족시켜야 한다.

(나)에서 $g \left( t \right) = 2$가 되도록 하는 자연수 $t$는 $a - 1$, $a - 2$, $a - 3$과 $b - 5$ 이하의 자연수이므로 $t$의 개수가 $\mathrm{6}$이면 $b - 5 = 3$, $b = 8$이다. $b - a \leq 1$이므로 $8 - a \leq 1$에서 $a \geq 7$이다. 그러므로 $a \geq 7$, $b = 8$이다. (ⅱ) $5 - b \geq 0$, $b \leq 5$인 경우 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g \left( t \right) = 2$이면 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$는 $x < 2$에서 한 점에서 만나고, $x \geq 2$에서 한 점에서 만난다. 그런데 $x < 2$에서 $a - 4 < f \left( x \right) < a$이고, $a - 4$보다 크고 $a$보다 작은 정수는 $a - 3$, $a - 2$, $a - 1$로 $\mathrm{3}$개뿐이므로 자연수 $t$의 최대 개수는 $\mathrm{3}$이고 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a \geq 7$, $b = 8$이므로 $a + b \geq 15$ 따라서 $a + b$의 최솟값은 $\mathrm{15}$이다.