율명 진동수

[출제의도] 국악과 관련하여 지수함수의 함숫값을 이용하여 참, 거짓을 판단한다. ㄱ. $\displaystyle \frac{f ( 4 )}{f ( 3 )} = \frac{C \cdot 2 ^{\frac{4 - 1}{12}}}{C \cdot 2 ^{\frac{3 - 1}{12}}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{3}{12} - \frac{2}{12}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{1}{12}}$ (참) ㄴ. ‘고선’의 진동수 $a$는 $\displaystyle a = f ( 5 ) = C \cdot 2 ^{\frac{5 - 1}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{4}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{1}{3}}$ 이때, ‘무역’의 진동수는 $\displaystyle f ( 11 ) = C \cdot 2 ^{\frac{11 - 1}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{10}{12}}$$\displaystyle = C \cdot 2 ^{\frac{4 + 6}{12}}$$\displaystyle = C \cdot 2 ^{\frac{4}{12} + \frac{6}{12}}$ $\displaystyle = C \cdot 2 ^{\frac{4}{12}} \cdot 2 ^{\frac{6}{12}}$$\displaystyle = a \cdot 2 ^{\frac{6}{12}}$$\displaystyle = a \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2} a$ (참) ㄷ. ‘대려’의 진동수 $b$는 $\displaystyle b = f ( 2 ) = C \cdot 2 ^{\frac{2 - 1}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{1}{12}}$ 이때, ‘협종’의 진동수는 $\displaystyle f ( 4 ) = C \cdot 2 ^{\frac{4 - 1}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{3}{12}}$ 또, ‘중려’의 진동수는 $\displaystyle f ( 6 ) = C \cdot 2 ^{\frac{6 - 1}{12}} = C \cdot 2 ^{\frac{5}{12}}$ $\displaystyle f ( 4 ) \times f ( 6 ) = \left( C \cdot 2 ^{\frac{3}{12}} \right) \left( C \cdot 2 ^{\frac{5}{12}} \right)$$\displaystyle \left. = C ^{2} \cdot 2 ^{\frac{3}{12} + \frac{5}{12}} \right.$ $\displaystyle \left. = C ^{2} \cdot 2 ^{\frac{8}{12}} \right.$$\displaystyle \left. = \left( C \cdot 2 ^{\frac{1}{12}} \right. \right) ^{2} \cdot 2 ^{\frac{6}{12}}$$\displaystyle = b ^{2} \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2} b ^{2}$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. [다른풀이] ㄱ. $\displaystyle \frac{f ( n + 1 )}{f ( n )} = \frac{C \cdot 2 ^{\frac{( n + 1 ) - 1}{12}}}{C \cdot 2 ^{\frac{n - 1}{12}}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{( n + 1 ) - 1}{12} - \frac{n - 1}{12}}$$\displaystyle = 2 ^{\frac{1}{12}}$ 이므로 번호가 $1$씩 증가할 때마다 진동수는 $\displaystyle 2 ^{\frac{1}{12}}$배가 된다. (참) ㄴ. ‘무역’의 번호는 ‘고선’의 번호보다 $6$만큼 크므로 ‘무역’의 진동수는 $a$의 $\displaystyle \left( 2 ^{\frac{1}{12}} \right) ^{6} = 2 ^{\frac{6}{12}} = 2 ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$배이다. (참) ㄷ. ‘협종’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 $2$만큼 크고, ‘중려’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 $4$만큼 크므로 ‘협종’과 ‘중려’의 진동수의 곱은 $\displaystyle \left( 2 ^{\frac{2}{12}} \cdot b \right) \left( 2 ^{\frac{4}{12}} \cdot b \right) = 2 ^{\frac{1}{2}} \cdot b ^{2} = \sqrt{2} b ^{2}$ (거짓)