육각형 넓이 최솟값

[출제의도] 분수함수의 그래프에서 절대부등식을 이용하여 넓이의 최솟값을 구한다. 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표를 각각 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( a , \frac{4}{a} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( - b , - \frac{4}{b} \right)}$($a > 0$, $b > 0$) 이라 하면 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 ${\mathrm{A}} ( a , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{B} \mathit{\left( 0 , \frac{4}{a} \right)}$, ${\mathrm{C}} ( - b , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( 0 , - \frac{4}{b} \right)}$ 육각형 $\mathrm{APBCQD}$의 넓이를 $S$라 하면 $S = \square \mathrm{\mathrm{OAPB}} + \square OCQD + \triangle OBC + \triangle ODA$ $\displaystyle = a \times \frac{4}{a} + b \times \frac{4}{b} + \frac{1}{2} \times b \times \frac{4}{a} + \frac{1}{2} \times a \times \frac{4}{b}$ $\displaystyle = 8 + 2 \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right)$ $a > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} > 0$, $\displaystyle \frac{a}{b} > 0$ $\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} = 2$ (등호는 $a = b$일 때 성립한다.) ∴ $\displaystyle S = 8 + 2 \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right)$$\geq 8 + 2 \times 2$$= 12$ 따라서 육각형 $\mathrm{APBCQD}$의 넓이의 최솟값은 $12$이다.